Encontre um escalar k tal que u e v sejam ortogonais, nos casos seguintes

a) u = 3 , k , - 2 ,   v = ( 6 , - 4 , - 3 )

b) u = 5 , k , - 4,2 ,   v = 1 , - 3,2 , 2 k

c) u = 1,7 , k + 2 , - 2 ,   v = ( 3 , k , - 3 , k )

Passo 1

Oieee gente

Para encontrarmos uma combinação linear, vamos escrever o vetor v assim:

v = α . u 1 + β . u 2 + γ . u 3

E aí vamos cair em um sistema onde queremos encontrar os valores de α , β e γ , fechou?

Vamos lá então

Passo 2

Temos u 1 = 1,2 , 3 ,   u 2 = 2,5 , - 1 ,   u 3 = ( 4 , - 2,3 )

Vamos escrever v assim:

v = α . 1,2 , 3 + β . 2,5 , - 1 + γ . ( 4 , - 2,3 )

( 9 , - 3,16 ) = α . 1,2 , 3 + β . 2,5 , - 1 + γ . ( 4 , - 2,3 )

Multiplicando os escalares por cada coordenada dos vetores:

( 9 , - 3,16 ) = α , 2 α , 3 α + 2 β , 5 β , - β + ( 4 γ , - 2 γ , 3 γ )

Somando as coordenadas:

( 9 , - 3,16 ) = α + 2 β + 4 γ , 2 α + 5 β - 2 γ , 3 α - β + 3 γ

Igualando coordenada com coordenada, caímos no sistema:

α + 2 β + 4 γ = 9 2 α + 5 β - 2 γ = - 3 3 α - β + 3 γ = 16

Fechou, agora é só resolvermos esse sistema 😉

Passo 3

Temos

α + 2 β + 4 γ = 9 2 α + 5 β - 2 γ = - 3 3 α - β + 3 γ = 16

Esse sistema tem essa matriz aumentada:

1 2 4 2 5 - 2 3 - 1 3 9 - 3 16

Vamos escalonar para resolvermos o nosso sistema, ok?

1 2 4 2 5 - 2 3 - 1 3 9 - 3 16  

L 2 → L 2 - 2 L 1

L 3 → L 3 - 3 L 1

1 2 4 0 - 5 - 10 0 - 7 - 9 9 - 21 - 11  

E agora fazemos L 3 → 5 L 3 - 7 L 2

1 2 4 0 - 5 - 10 0 0 25 9 - 21 92  

Passo 4

A nossa matriz escalonada é

1 2 4 0 - 5 - 10 0 0 25 9 - 21 92

Então o sistema fica assim:

α + 2 β + 4 γ = 9 - 5 β - 10 γ = - 21 25 γ = 16

Da terceira equação, temos

γ = 16 25 = 0,64

Substituindo na segunda equação:

- 5 β - 6,4 = - 21

- 5 β = - 21 + 6,4

- 5 β = - 14,6

β = 2,92

Substituindo esses valores na primeira equação:

α + 2 × 2,92 + 4 × 0,64 = 9

α + 8,4 = 9

α = 0,6

Show, então nossa combinação linear fica assim

( 9 , - 3,16 ) = α . 1,2 , 3 + β . 2,5 , - 1 + γ . ( 4 , - 2,3 )

( 9 , - 3,16 ) = 0,6 . 1,2 , 3 + 2,92 . 2,5 , - 1 + 0,64 . ( 4 , - 2,3 )

Resposta

( 9 , - 3,16 ) = 0,6 . 1,2 , 3 + 2,92 . 2,5 , - 1 + 0,64 . ( 4 , - 2,3 )