Encontre F(a, b) se a transformação linear é definida por F(1, 2)=(3, –1) e F(0, 1)=(2, 1).

Passo 1

O primeiro passo aqui é percebermos que

β = 1,2 , 0,1

É uma base do espaço R ²

Como é uma base, qualquer outro vetor de R ² pode ser escrito como combinação linear desses, certo?

Passo 2

Um vetor ( x , y ) de R ² pode ser escrito assim:

x , y = α . 1,2 + β . 0,1

x , y = α , 2 α + β

Igualando as coordenadas, temos o sistema

x = α 2 α + β = y

Da primeira equação, temos α = x . Da segunda equação, temos

β = y - 2 α = y - 2 x

Passo 3

Então, se temos

x , y = α . 1,2 + β . 0,1

Vamos substituir o que encontramos no sistema:

x , y = x . 1,2 + ( y - 2 x ) . 0,1

Show! Agora vamos aplicar a transformação F dos dois lados:

F x , y = F x . F 1,2 + F y - 2 x . F 0,1

Como x e y são constantes, eles podem sair da transformação:

F x , y = x . 3 , - 1 + y - 2 x . 2,1

Agora é só multiplicar:

F x , y = 3 x , - x + 2 y - 4 x , y - 2 x

Então, a lei da transformação é

F x , y = ( - x + 2 y , - 3 x + y )

Fechou?? 😊

Resposta

F x , y = ( - x + 2 y , - 3 x + y )