Encontre uma fórmula para a solução de mínimos quadráticos de Ax = b quando as colunas de A forem ortonormais.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Que A seja uma m × n matriz.

Suponha que as colunas são A ortoonormais.

O objetivo é encontrar a fórmula da solução menos quadrada do sistema A x = b .

Passo 2

A solução de menos quadrados da matriz A m × n é x ˆ = A T A - 1 A T b .

Uma vez que as colunas da matriz A são ortoonormais, então A T A = I .

Aqui, I é a matriz de identidade.

Portanto, a solução de menos quadrados torna-se

x ˆ   = A T A - 1 A T b   = ( I ) - 1 A T b    Use  A T A = I   = A T b

Assim, a solução menos quadrada do sistema A x = b é x ˆ = A T b , quando as colunas da matriz A são ortoximais.

Resposta

x ˆ = A T b