Encontre uma matriz 2x2 A que leve

a) 1,3 T e 1,4 T em - 2,5 T e 3 , - 1 T , respectivamente

b) 2 , - 4 T e - 1,2 T em 1,1 T e 1,3 T , respectivamente

Passo 1

a) O primeiro passo aqui é percebermos que

β = 1 , 3 , 1,4

É uma base do espaço R ²

Como é uma base, qualquer outro vetor de R ² pode ser escrito como combinação linear desses, certo?

Passo 2

Um vetor ( x , y ) de R ² pode ser escrito assim:

x , y = α . 1 , 3 + β . 1,4

x , y = α + β , 3 α + 4 β

Igualando as coordenadas, temos o sistema

x = α + β y = 3 α + 4 β

Multiplicando a primeira equação por - 3 , temos

- 3 x = - 3 α - 3 β y = 3 α + 4 β

Somando as duas equações:

- 3 x + y = β

Passo 3

Substituindo β = - 3 x + y na primeira equação, temos

- 3 x = - 3 α - 3 - 3 x + y

- 3 x = - 3 α + 9 x - 3 y

- 3 α = - 12 x + 3 y

Dividindo tudo por - 3 :

α = 4 x - y

Passo 4

Então, se temos

x , y = α . 1,3 + β . 1,4

Vamos substituir o que encontramos no sistema:

x , y = ( 4 x - y ) . 1,3 + ( - 3 x + y ) . 1,4

Show! Agora vamos aplicar a transformação F dos dois lados:

F x , y = F ( 4 x - y ) . F 1,3 + F ( - 3 x + y ) . F 1,4

Como x e y são constantes, eles podem sair da transformação:

F x , y = ( 4 x - y ) . F 1,3 + ( - 3 x + y ) . F 1,4

Sabemos que F 1,3 = ( - 2,5 ) e F 1,4 = ( 3 , - 1 )

F x , y = ( 4 x - y ) . ( - 2,5 ) + ( - 3 x + y ) . ( 3 , - 1 )

Agora é só multiplicar:

F x , y = - 8 x + 2 y , 20 x - 5 y + - 9 x + 3 y , 3 x - y

Então, a lei da transformação é

F x , y = ( - 17 x + 5 y , 23 x - 6 y )

Passo 5

Certo, sabemos que a lei da transformação é

F x , y = ( - 17 x + 5 y , 23 x - 6 y )

Então vamos encontrar a matriz dessa transformação linear

Usando a base canônica, temos que

F 1,0 = - 17,23

F 0,1 = 5 , - 6

Então:

M = - 17 5 23 - 6

Resposta

M = - 17 5 23 - 6