Encontre uma representação paramétrica da reta de R4 que

(a) passe pelos pontos P(1, 2, 1, 2) e Q(3, –5, 7, –9);

(b) passe por P(1, 1, 3, 3) e seja perpendicular ao hiperplano 2x1+4x2+6x3-8x4=5.

Passo 1

E aíí gente, vamos lá?

a) Vamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos P = ( 1,2 , 1,2 ) e Q = ( 3 , - 5,7 , - 9 )

Para encontrarmos a equação paramétrica de uma reta, precisamos de duas coisas: um ponto e um vetor diretor

O ponto nós já temos (aliás, temos 2 :P), agora para encontrar o vetor diretor, basta fazermos

Q - P

Passo 2

Subtraindo os pontos que temos, encontramos o vetor diretor da reta, o P Q → :

P Q → = Q - P

P Q → = 3 , - 5,7 , - 9 - 1,2 , 1,2

Então, o vetor diretor da reta é

P Q → = ( 2 , - 7,6 , - 11 )

Logo, a nossa reta pode ser escrita assim:

r : x , y , z , w = 1,2 , 1,2 + λ . ( 2 , - 7,6 , - 11 )

Passo 3

b) Agora a nossa reta deve passar pelo ponto P = ( 1,1 , 3,3 ) e ser perpendicular ao plano 2 x + 4 y + 6 z - 8 w = 5

Bem, se a reta é perpendicular a esse plano, quer dizer que ela é paralela ao vetor normal dele, não é?

Porque o vetor normal do plano é o que é perpendicular a ele, então ele está “coincidindo” com a reta, sacou?

Passo 4

O vetor normal do plano é formado pelos coeficientes que multiplicam x , y , z , w , então:

u = 2,4 , 6 , - 8

E esse vai ser o vetor diretor da nossa reta

Logo, a nossa reta pode ser escrita assim:

r : x , y , z , w = 1,1 , 3,3 + λ ( 2,4 , 6 , - 8 )

E fimmm

Resposta

a) r : x , y , z , w = 1,2 , 1,2 + λ . ( 2 , - 7,6 , - 11 )

b) r : x , y , z , w = 1,1 , 3,3 + λ ( 2,4 , 6 , - 8 )