Encontre os subespaços de R³ idênticos dentre os dados

U 1 = g e r 1,1 , - 1 , 2,3 , - 1 , 3,1 , - 5

U 2 = g e r 1 , - 1 , - 3 , 3 , - 2 , - 8 , 2,1 , - 3

U 3 = 1,1 , 1 , 1 , - 1,3 , 3 , - 1,7

Passo 1

E aeeee galera

Pra resolvermos esse exercício, vamos escalonar cada uma das matrizes contendo os vetores, e aí é o seguinte: se as linhas que encontrarmos em cada uma delas forem iguais, vamos dizer que o espaço é idêntico, fechou??

Passo 2

Vamos começar escalonando a matriz U 1 :

U 1 = 1 1 - 1 2 3 - 1 3 1 - 5

Fazendo:

L 2 → L 2 - 2 L 1

L 3 → L 3 - 3 L 1

Temos:

U 1 = 1 1 - 1 0 1 1 0 - 2 - 2

Fazendo L 3 → L 3 + 2 L 2 :

U 1 = 1 1 - 1 0 1 1 0 0 0

E fazendo L 1 → L 1 - L 2

U 1 = 1 0 - 2 0 1 1 0 0 0

Passo 3

Agora vamos escalonar a matriz U 2

U 2 = 1 - 1 - 3 3 - 2 - 8 2 1 - 3

Fazendo:

L 2 → L 2 - 3 L 1

L 3 → L 3 - 2 L 1

Temos:

U 2 = 1 - 1 - 3 0 1 1 0 3 3

Fazendo L 3 → L 3 - 3 L 2 , temos

U 2 = 1 - 1 - 3 0 1 1 0 0 0

Por fim, vamos fazer L 1 → L 1 + L 2

U 2 = 1 0 - 2 0 1 1 0 0 0

Agora vamos para U 3

Passo 4

A matriz U 3 é

U 3 = 1 1 1 1 - 1 3 3 - 1 7

Fazendo

L 2 → L 2 - L 1

L 3 → L 3 - 3 L 1

Temos

U 3 = 1 1 1 0 - 2 2 0 - 4 4

Fazendo

L 2 → L 2 2

U 3 = 1 1 1 0 - 1 1 0 - 4 4

E agora L 3 → L 3 - 4 L 2

U 3 = 1 1 1 0 - 1 1 0 0 0

Por fim, L 1 → L 1 + L 2

U 3 = 1 0 2 0 - 1 1 0 0 0

Passo 5

Temos que as matrizes escalonada U 1 e U 2 são exatamente iguais, portanto, geram o mesmo espaço

Não podemos afirmar o mesmo para a matriz U 3 😉

Resposta

U 1 e U 2 geram o mesmo espaço