Encontre os valores de k que fazem um produto interno de R ² com u = ( x 1 , x 2 ) e v = ( y 1 , y 2 ) da função

f u , v = x 1 y 1 - 3 x 1 y 2 - 3 x 2 y 1 + k x 2 y 2

Passo 1

Oii gente, tudo certo?

Para mostrarmos que a operação define um produto interno, temos que mostrar que ela cumpre com os 4 axiomas:

- Simetria

- Homogeneidade

- Aditividade

- Positividade

Nesse caso, o valor de k não interfere nos 3 primeiros axiomas, pois ele é simplesmente uma constante, sacou?

Então vamos encontrar o k de acordo com o 4° axioma, o da positividade, bora!

Passo 2

Vamos verificar a positividade, fazendo f ( u , u ) e vendo para quais valores de k isso é positivo

f u , u = x 1 x 1 - 3 x 1 x 2 - 3 x 2 x 1 + k x 2 x 2

x 1 2 - 6 x 1 x 2 + k x 2 2 > 0

k x 2 2 > - x 1 2 + 6 x 1 x 2

Então, para que haja positividade, temos que ter

k > 9

Resposta

k > 9