Enuncie as reciprocas e as contra positivas das seguintes proposições:

a) Se dois números inteiros são impares, então a soma deles é um número par.

b) Se uma função real de variável real é continua num ponto, então ela é diferenciável nesse ponto.

c) Se uma matriz quadrada é invisível, então seu determinante é diferente de zero.

d) Se o grau de um polinômio real é 2, então esse polinômio tem duas e apenas duas raízes complexas.

e) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao a outro.

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Como vimos no capítulo, uma proposição reciproca é aquela do tipo: s e   p ,   e n t ã o   q ⇒ s e   q ,   e n t ã o   p , já as contra positivas são as do tipo s e   ~ p ,   e n t ã o   ~ q . Bora caprichar no português então.

  1. Reciproca: Se a soma de dois números inteiros é par, então esses números são impares.
  2. Contra positiva: Se a soma de dois números inteiros é ímpar, então um deles é par.

    Passo 2

  3. Reciproca: Se uma função real de variável real é diferencial num ponto, então ela é contínua nesse ponto.
  4. Contra positiva: Se uma função real de variável real não é diferenciável num ponto, então ela não contínua nesse ponto.

    Passo 3

  5. Reciproca: Se o determinante de uma matriz é diferente de zero, então a matriz correspondente é inversível.
  6. Contra positiva: Se o determinante de uma matriz é igual a zero, então essa matriz não é inversível.

    Passo 4

  7. Reciproca: Se um polinômio real tem duas e apenas duas raízes complexas, então esse polinômio tem grau 2.
  8. Contra positiva: Se o número de raízes complexas de um polinômio real é diferente de 2, então o grau desse polinômio é diferente de 2.

    Passo 5

  9. Reciproca: Se todas as retas de um plano são perpendiculares a um outro plano, então os dois planos são perpendiculares entre si.

Contra positiva: Se num plano há uma reta que não é perpendicular a um segundo plano, então os dois planos não são perpendiculares.

Resposta

  1. Recíproca: Se a soma de dois números inteiros é par, então esses números são impares.
  2. Contra positiva: Se a soma de dois números inteiros é ímpar, então um deles é par.

  3. Reciproca: Se uma função real de variável real é diferencial num ponto, então ela é contínua nesse ponto.
  4. Contra positiva: Se uma função real de variável real não é diferenciável num ponto, então ela não contínua nesse ponto.

  5. Reciproca: Se o determinante de uma matriz é diferente de zero, então a matriz correspondente é inversível.
  6. Contra positiva: Se o determinante de uma matriz é igual a zero, então essa matriz não é inversível.

  7. Reciproca: Se um polinômio real tem duas e apenas duas raízes complexas, então esse polinômio tem grau 2.
  8. Contra positiva: Se o número de raízes complexas de um polinômio real é diferente de 2, então o grau desse polinômio é diferente de 2.

  9. Reciproca: Se todas as retas de um plano são perpendiculares a um outro plano, então os dois planos são perpendiculares entre si

Contra positiva: Se num plano há uma reta que não é perpendicular a um segundo plano, então os dois planos não são perpendiculares.