A equação geral do círculo em R 2 com centro em ( A ,   B ) e raio r é dada por x - A 2 + y - B 2 = r 2 .

a) determine a ,   b e c em função de A ,   B e r para que a equação do círculo seja escrita como x 2 + a x + y 2 + b x + c = 0 .

b) Dados três pontos x 1 , y 1 ,   x 2 , y 2 e ( x 3 , y 3 ) por onde passa o círculo, escreva o sistema que determine a ,   b e c .

c) Determine a equação do círculo que passa em - 4 ,   5 ,   ( - 2 ,   7 ) e ( 4 ,   - 3 ) .

Passo 1

a) Desenvolvemos a equação x - A 2 + y - B 2 = r 2 :

x - A 2 + y - B 2 = r 2 ⇔

x 2 - 2 A x + A 2 + y 2 - 2 y B + B 2 = r 2 ⇔

x 2 + - 2 A x + y 2 + - 2 B y + A 2 + B 2 - r 2 = 0

Portanto para que a equação geral do círculo seja escrita como x 2 + a x + y 2 + b x + c = 0 devemos ter a =   - 2 A , b =   - 2 B e c = A 2 + B 2 - r 2 .

Passo 2

b) Como x 1 , y 1 ,   x 2 , y 2 e ( x 3 , y 3 ) são ponto do círculo, considerando a equação do círculo na forma x 2 + a x + y 2 + b x + c = 0 , devemos ter:

x 1 2 + a x 1 + y 1 2 + b y 1 + c = 0 x 2 2 + a x 2 + y 2 2 + b y 2 + c = 0 x 3 2 + a x 3 + y 3 2 + b y 3 + c = 0 x 1 a + y 1 b + c =   - x 1 2 - y 1 2   x 2 a + y 2 b + c =   - x 2 2 - y 2 2 x 3 a + y 3 b + c =   - x 3 2 - y 3 2

Como x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 e y 3 são constantes, segue que esse é um sistema linear nas variáveis a ,   b e c .

Passo 3

c) Fazemos x 1 , y 1 = ( - 4,5 ) , x 2 , y 2 = ( - 2 ,   7 ) e x 3 , y 3 = ( 4 ,   - 3 ) no sistema encontrado no item b:

- 4 a + 5 b + c = - - 4 2 - 5 2   - 2 a + 7 b + c =   - - 2 2 - 7 2 4 a - 3 b + c =   - 4 2 - - 3 2 ⇔   - 4 a + 5 b + c =   - 41 - 2 a + 7 b + c =   - 53 4 a - 3 b + c = - 25

Portanto a matriz referente ao sistema é dada por:

- 4 5 1 | - 41 - 2 7 1 | - 53 4 - 3 1 | - 25

Escalonando essa matriz obtemos a matriz abaixo:

1 0 0 |     - 2 0 1 0 |     - 4 0 0 1 | - 2 9

Ou seja, a solução do sistema é a = - 2 , b =   - 4 e c =   - 2 9 . Pelo item (a) temos:

a =   - 2 A ⇒ A =   - a 2 =   - - 2 2 =   1

b =   - 2 B ⇒ B =   - b 2 =   - - 4 2 = 2

c = A 2 + B 2 - r 2 ⇒ r 2 = A 2 + B 2 - c = 1 2 + 2 2 - - 2 9 = 34

Logo, a equação do círculo que passa em - 4 ,   5 ,   ( - 2 ,   7 ) e ( 4 ,   - 3 ) é dada por x - 1 2 + y - 2 2 = 34 .

Resposta

a) a =   - 2 A , b =   - 2 B e c = A 2 + B 2 - r 2 .

b) x 1 a + y 1 b + c =   - x 1 2 - y 1 2   x 2 a + y 2 b + c =   - x 2 2 - y 2 2 x 3 a + y 3 b + c =   - x 3 2 - y 3 2

c) x - 1 2 + y - 2 2 = 34