Dê uma equação do plano que passa por A = ( 2,3 , 1 ) e B = ( 3,2 , 1 ) e é equidistante de C = ( 0,1 , 1 ) e D = ( 0 , - 2 , - 1 ) .

Passo 1

E aí, gente? Tudo beleza? Que bom!

Geralmente, precisamos de três vetores para gerar um plano. Mas, só temos dois pontos do plano, A = ( 2,3 , 1 ) e B = ( 3,2 , 1 ) , a partir dos quais não conseguimos obter os três vetores no plano. Então, vamos seguir um raciocínio diferente. Vamos pegar uma equação do plano

π : a x + b y + c z + d = 0

e substituir os pontos A = ( 2,3 , 1 ) e B = ( 3,2 , 1 ) :

A : 2 a + 3 b + c + d = 0

B : 3 a + 2 b + c + d = 0

Então, nós temos duas equações e quatro incógnitas, a , b , c , d .

Passo 2

As equações que faltam vem da informação de que o plano é equidistante de C = ( 0,1 , 1 ) e D = ( 0 , - 2 , - 1 ) . Ou seja, d ( D , π ) = d ( C , π ) . Temos

d ( C ,   π )   =   | a ⋅ 0   + b ⋅ 1   + c ⋅ 1   +   d | a 2   +   b 2   +   c 2 = | b   + c   +   d | a 2   +   b 2   +   c 2

d ( D ,   π )   =   | - 2 b - c   +   d | a 2   +   b 2   +   c 2

Igualando as duas expressões, ficamos com

| b + c + d | = | - 2 b - c + d |

⇒ b + c + d = - 2 b - c + d   o u   b + c + d = 2 b + c - d

No primeiro caso, ficamos com

b + c + d = - 2 b - c + d ⇒ 3 b + 2 c = 0 ⇒ c = - 3 2 b

No segundo caso, temos

b + c + d = 2 b + c - d ⇒ b = 2 d

Passo 3

Vamos resumir o que já temos até agora:

( 1 ) : 2 a + 3 b + c + d = 0

( 2 ) : 3 a + 2 b + c + d = 0

( 3 ) : c = - 3 2 b   o u   b = 2 d

  • Primeira opção:
  • Usando c = - 3 2 b em ( 1 ) e ( 2 ) :

    ( 1 ) : 2 a + 3 b - 3 2 b + d = 0

    ( 2 ) : 3 a + 2 b - 3 2 b + d = 0

    Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos

    ( 1 ) - ( 2 ) : 2 a + 3 b - 3 2 b + d - 3 a - 2 b + 3 2 b - d = 0

    ⇒ - a + b = 0

    ⇒ a = b

    Agora, voltando às duas equações

    ( 1 ) : 2 a + 3 a - 3 2 a + d = 0

    ( 2 ) : 3 a + 2 a - 3 2 a + d = 0

    ⇒ 7 2 a + d = 0

    ⇒ d = - 7 2 a

    Então, chegamos a equação do primeiro plano:

    a x + a y - 3 2 a z - 7 2 a = 0

    ⇒ 2 x + 2 y - 3 z - 7 = 0

  • Segunda opção:

Usando   b = 2 d em ( 1 ) e ( 2 ) :

( 1 ) : 2 a + 6 d + c + d = 0

( 2 ) : 3 a + 4 d + c + d = 0

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos

( 1 ) - ( 2 ) : 2 a + 6 d + c + d - 3 a - 4 d - c - d = 0

⇒ - a + 2 d = 0

⇒ a = b = 2 d

Agora, voltando às duas equações

( 1 ) : 4 d + 6 d + c + d = 0

( 2 ) : 6 d + 4 d + c + d = 0

⇒ 11 d + c = 0

⇒ c = - 11 a

Então, chegamos a equação do primeiro plano:

2   d   x + 2   d   y - 11   d   z + d   a = 0

⇒ 2 x + 2 y - 11 z + 1 = 0

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Resposta

2 x + 2 y - 3 z - 7 = 0   o u   2 x + 2 y - 11 z + 1 = 0 .