1. Dê uma equação do plano π , que passa por P   = ( 1,0 , 1 ) e é perpendicular à reta x - 1 = y = 4 - z .
  2. Calcule as coordenadas do ponto de interseção de r e π .
  3. Calcule as coordenadas do simétrico de P em relação à reta dada.

Passo 1

E aí, galera? Bora resolver mais essa questão? Então, vem comigo!

  1. O plano π é perpendicular a reta x - 1 = y = 4 - z , que pode ser reescrita como
  2. x - 1 = y = 4 - z = t ⇒ x = t + 1 ,   y = t ,   z = 4 - t

    Assim, o vetor diretor da reta é dado por v → = ( 1,1 , - 1 ) . O vetor normal do plano também é perpendicular ao plano, ou seja, é paralelo ao vetor diretor da reta: n → = v → = ( 1,1 , - 1 ) . Nesse caso, o plano π pode ser escrito como

    π :   x + y - z + d = 0

    Só falta descobrir d mas, para isso, usamos o fato de que o plano passa por P   = ( 1,0 , 1 ) . Assim, vamos substituir as coordenadas desse ponto na equação do plano:

    π :   x + y - z + d = 0 ⇒ π :   1 + 0 - 1 + d = 0

    ⇒ d = 0

    Pronto, agora já temos a equação do plano:

    π :   x + y - z = 0

    Passo 2

  3. Para descobrir o ponto de interseção da reta com o plano, precisamos substituir as coordenadas da reta na equação do plano e descobrir para qual valor de t a equação é satisfeita. Depois, substituir t de volta nas equações da reta e, com isso, obtemos o ponto:
  4. π :   x + y - z = 0 ⇒ t + 1 + t - 4 + t = 0

    ⇒ 3 t - 3 = 0

    ⇒ t = 1

    Beleza! Para t = 1 nós temos o ponto de interseção dado por

    Q = ( t + 1 ,   t ,   4 - t ) t = 1 = ( 2,1 , 3 )

    Passo 3

  5. O ponto Q , que é a interseção entre a reta e o plano é o ponto médio entre P e seu simétrico em relação à reta. Vamos calcular o vetor que sai do ponto P = ( 1,0 , 1 ) até o ponto Q = ( 2,1 , 3 ) :

P Q → = Q - P = ( 2,1 , 3 ) - ( 1,0 , 1 ) = ( 1,1 , 2 )

Então, temos a seguinte reta:

P Q :   x = 1 + m ,   y = m ,   z = 1 + 2 m

Para m = 0 , temos P = ( 1,0 , 1 ) . Para m = 1 , temos Q = ( 2,1 , 3 ) . Continuando esse raciocínio, vemos que m = 2 nos dá o ponto que queremos

P ' = ( 3,2 , 5 )

E aí, gostou desta resolução? Responde Aí!

Resposta

  1. π :   x + y - z = 0
  2. Q = ( 2,1 , 3 )
  3. P ' = ( 3,2 , 5 )