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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.8 - Ex. 213

Dê uma equação da superfície esférica, de maior raio, tangente aos planos 2 x + 2 y + z + 4 = 0 e y = 0 , sendo T = ( - 1,0 , 2 ) um dos pontos de tangência.

Passo 1

Fala pessoal! Já sabemos como começar esse tipo de questão, pois o ponto de tangência na superfície esférica nos fornece o raio dessa superfície com centro da esfera C   =   ( a , b , c ) . Como o ponto T = ( - 1,0 , 2 ) pertence a um dos planos dado na questão, haverá um vetor C T → que será normal ao plano. Então, vamos começar descobrindo qual é esse plano ao substituir o valor de T em:

π 1 :   2 ⋅ ( - 1 ) + 2 ⋅ 0 + 2 + 4 = 0   ⇒   - 2 + 6   ≠ 0

π 2 :   y = 0   ⇒ 0   =   0

Pronto, temos o plano π 2 :   y = 0 com seu vetor normal igual a n →   =   ( 0,1 , 0 ) . Logo,

C T   → =   k n →   ⇒   T - C   = ( 0 , k , 0 )   ⇒ ( - 1 - a ,   b , 2 - c )   =   ( 0 , k , 0 )  

Daí, temos que

- 1 - a   =   0   ⇒   a   =   - 1

b   =   k

2 - c   =   0   ⇒   c = 2

Sucesso. Temos C   =   ( - 1 , k , 2 )

Passo 2

Para terminar essa questão, precisamos descobrir o valor de k . Não vão esquecer ou querer “chutar”. Para isso, vamos atentar ao fato de que d ( C ,   π 1 )   =   d ( C ,   π 2 ) . Então, vamos fazer umas continhas:

| 2   ⋅   ( - 1 )   +     2   ⋅   k   +   1   ⋅   2   +   4 | 4 + 4 + 1 = | 0   ⋅   ( - 1 )   +     1   ⋅   k   +   0   ⋅   2   +   0 | 0 + 1 + 0

⇒ | 2   k   +   4 | 3 = | k | 1

⇒ 2 k + 4 = 3 k

⇒ k   = 4  

Logo, basta recordar a equação reduzida da superfície esférica:

( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 + ( z - c ) 2 = r 2

e substituir C   =   ( - 1,4 , 2 ) e r   =   d ( C , π 2 ) =   4 na equação acima:

( x + 1 ) 2 + ( y - 4 ) 2 + ( z - 2 ) 2 = 16 .

Perfeito? Responde Aí.

Resposta

( x + 1 ) 2 + ( y - 4 ) 2 + ( z - 2 ) 2 = 16 .