Dê uma equação da superfície tangente ao plano x = 0 no ponto P = ( 0,1 , 2 ) e que tangencia externamente a superfície esférica ( x + 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 1 .

Passo 1

Fala, pessoal! Pra resolver essa questão, precisamos sair montando um quebra-cabeça e depois só substituir os valores. Mas antes disso, precisamos adivinhar que a circunferência correta é ( x + 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 1 . Sim, mais um erro no livro, mas vamos lá!

A primeira peça é a relação entre a distância do centro   C ' = ( a , b , c ) da superfície que é tangente ao plano x = 0   ⇒ n → = ( 1,0 , 0 ) :

d ( C ' , π )   =   r   ⇒   r   =   | 1   ⋅   a +   0   ⋅   b   +     0   ⋅   c   +   0 | 1 + 0 + 0 ⇒ r = | a |

Então, a superfície será:

( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 + ( z - c ) 2 = a 2

Passo 2

A segunda peça será utilizar que o ponto P = ( 0,1 , 2 ) é um ponto de tangência entre o plano e a superfície. Isso quer dizer que

( 0 - a ) 2 + ( 1 - b ) 2 + ( 2 - c ) 2 = a 2

⇒ a 2 + 1 - 2 b + b 2 + 4 - 4 c + c 2 = a 2

⇒ - 2 b + b 2 - 4 c + c 2 = - 5

A terceira peça é dada pela tangência entre a superfície que queremos achar e a esfera ( x + 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 1 , com centro C =   ( - 2,1 , 1 ) e raio r = 1 . Isso quer dizer que a distância entre os centros das duas superfícies é igual a soma dos raios das duas:

d ( C 1 , C 2 )   =   r 1 + r 2

⇒   ( - 2 - a ) 2 + ( 1 - b ) 2 + ( 1 - c ) 2 =   a + 1

⇒   ( - 2 - a ) 2 + ( 1 - b ) 2 + ( 1 - c ) 2 =   ( a + 1 ) 2

⇒   4   + 4 a + a 2 + 1 - 2 b + b 2 + 1 - 2 c + c 2 = a 2 + 2 a + 1

⇒   4 a - 2 a - 2 b + b 2 + 5 - 2 c + c 2 = 0

⇒   2 a - 2 b + b 2 - 2 c + c 2 = - 5

Passo 3

Quase lá, galerinha. Vamos subtrair a primeira relação da segunda, ambas obtidas no passo 2. Vamos lá:

2 a - 2 b + b 2 - 2 c + c 2 + 2 b - b 2 + 4 c - c 2 = - 5 + 5

⇒ 2 a - 2 c + 4 c = 0

⇒ 2 a + 2 c = 0

⇒ c   = - a

Então, também podemos achar b em função de a , a partir da segunda equação do Passo 2:

- 2 b + b 2 - 4 ⋅ ( - a ) + a 2 = - 5

⇒ - 2 b + b 2 + 4 a + a 2 = - 5

⇒ b 2 - 2 b + 1 - 1 + a 2 + 4 a + 4 - 4 = - 5

⇒ ( b - 1 ) 2 - 1 + ( a + 2 ) 2 - 4 = - 5

⇒ ( b - 1 ) 2 + ( a + 2 ) 2 = 0

Essa relação é a soma de dois números positivos e só é satisfeita quando b = 1 e a = - 2 simultaneamente. Assim, finalizamos a questão com c = 2 e a superfície:

( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 + ( z - c ) 2 = a 2

⇒ ( x + 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 2 ) 2 = 4

Finalizamos esse capítulo, pessoal! Uhuuu! Gostou das resoluções? Responde Aí!

Resposta

( x + 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 2 ) 2 = 4