Dê equações paramétricas da reta , projeção ortogonal da reta
sobre o plano .
Passo 1
Pessoal, vamos começar essa questão notando que o vetor diretor da reta é e o vetor normal do plano é . Então, se a reta for paralela ao plano, ela vai ter um vetor diretor perpendicular ao vetor normal do plano. Vamos testar se isso é verdade
Então, a reta não é paralela ao plano. Isso quer dizer que deve haver algum ponto de interseção entre eles. Para descobrir esse ponto, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano e resolvemos para achar o valor de :
Beleza, para , temos o ponto . Agora, precisamos encontrar outro ponto da reta. Vamos escolher , o que nos dá o ponto .
Passo 2
O próximo passo é projetar esses pontos ortogonalmente sobre o plano. Na verdade, só o ponto porque o ponto já pertence ao plano. Com isso, nós devemos achar o ponto , para os quais nós temos o vetor
Como nós queremos as projeções ortogonais, então os vetores acima devem ser proporcionais ao vetor normal do plano, . Então, , obtemos
Ou seja, temos o ponto .
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o ponto pertence ao plano. Então, ele deve satisfazer a equação do plano:
Então, ficamos com o ponto
Com isso, temos dois pontos que pertencem ao plano e são a projeção ortogonal da reta sobre esse plano: e . Agora, considerando como nosso ponto inicial e o vetor
como vetor diretor, conseguimos obter as equações paramétricas da reta:
Resposta
.