Dê equações paramétricas da reta r ' , projeção ortogonal da reta

⎧ x   = - 2   + 2 t

  r   ⎢ y   = - 2   + 2 t

      ⎩ z   = 3 - t

sobre o plano x + y + z - 5 = 0 .

Passo 1

Pessoal, vamos começar essa questão notando que o vetor diretor da reta é v → = ( 2,2 , - 1 ) e o vetor normal do plano é n → = ( 1,1 , 1 ) . Então, se a reta for paralela ao plano, ela vai ter um vetor diretor perpendicular ao vetor normal do plano. Vamos testar se isso é verdade

v → ⋅ n → = ( 2,2 , - 1 ) ⋅ ( 1,1 , 1 ) = 2 + 2 - 1 = 3 ≠ 0

Então, a reta não é paralela ao plano. Isso quer dizer que deve haver algum ponto de interseção entre eles. Para descobrir esse ponto, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano e resolvemos para achar o valor de t :

x + y + z - 5 = 0

⇒   - 2   + 2 t - 2   + 2 t + 3 - t - 5 = 0

⇒   3 t - 6 = 0 ⇒ t = 2

Beleza, para t = 2 , temos o ponto P = ( 2,2 , 1 ) . Agora, precisamos encontrar outro ponto da reta. Vamos escolher t = 0 , o que nos dá o ponto Q = ( - 2 , - 2,3 ) .

Passo 2

O próximo passo é projetar esses pontos ortogonalmente sobre o plano. Na verdade, só o ponto Q porque o ponto P já pertence ao plano. Com isso, nós devemos achar o ponto Q ' = ( a , b , c ) , para os quais nós temos o vetor

Q Q ' → = Q ' - Q = ( a , b , c ) - ( - 2 , - 2,3 ) = ( a + 2 , b + 2 , c - 3 )

Como nós queremos as projeções ortogonais, então os vetores acima devem ser proporcionais ao vetor normal do plano, n → = ( 1,1 , 1 ) . Então, Q Q ' → = k n → , obtemos

2 + a = 2 + b = - 3 + c = k

⇒ a = k - 2 ,   b = k - 2 ,   c = 3 + k

Ou seja, temos o ponto Q ' = ( a , b , c ) = ( k - 2 , k - 2,3 + k ) .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o ponto Q ' pertence ao plano. Então, ele deve satisfazer a equação do plano:

x + y + z - 5 = 0 ⇒ k - 2 + k - 2 + 3 + k - 5 = 0

⇒ 3 k - 6 = 0 ⇒ k = 2

Então, ficamos com o ponto

Q ' = ( k - 2 , k - 2,3 + k ) = ( 0,0 , 5 )

Com isso, temos dois pontos que pertencem ao plano e são a projeção ortogonal da reta sobre esse plano: P = ( 2,2 , 1 ) e ( 0,0 , 5 ) . Agora, considerando P como nosso ponto inicial e o vetor

P Q → = Q - P = ( 0,0 , 5 ) - ( 2,2 , 1 ) = ( - 2 , - 2,4 )

como vetor diretor, conseguimos obter as equações paramétricas da reta:

r ' :   x = 2 - 2 m ,   y = 2 - 2 m ,   z = 1 + 4 m

Resposta

x = 2 - 2 m ,   y = 2 - 2 m ,   z = 1 + 4 m .