Enunciado

Dê as equações dos planos que passam pelo eixo O x e são tangentes à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 10 y + 16 = 0 .

Passo 1

Fala aeee, pessoal! Tudo bem?

Completando quadrados, iremos achar a equação reduzida da esfera:

E : x 2 + y - 5 2 + z 2 = 9

C = 0,5 , 0   e   R = 3

Os planos que passam pelo eixo O x são planos que contém o ponto O = 0,0 , 0 .

Passo 2

A distância entre o ponto O e o centro da esfera é:

d O , C = 5

A distância entre o centro e o ponto de tangência é:

d C , T = R = 3

O raio faz com o ponto de tangência um ângulo reto. Portanto, temos um triângulo retângulo formado por:

d O , C 2 = d C , T 2 + d O , T 2

Assim,

d O , T = 4

Passo 3

Logo, os planos tangentes terão como vetores normais:

n → = ( 0 , ± 3,4 )

Assim, as equações dos planos são:

π 1 : 3 y + 4 z = 0

π 2 : - 3 y + 4 z = 0

Resposta

π 1 : 3 y + 4 z = 0

π 2 : - 3 y + 4 z = 0