1. Esboce o gráfico da equação e das tangentes nos pontos de coordenadas -x. - 2 , - 1 , 1 e 2 .
  2. Determine o ponto em que o coeficiente angular da tangente é m .

y = x 2 ;                           m = 6

Passo 1

Segundo a Definição (3.1), o coeficiente angular m a da tangente ao gráfico de uma função f em P ( a , f a ) é

m a = f a + h - f a h  

Desde que o limite exista.

Se o limite na Definição (3.1) não existe, então o coeficiente angular da tangente em P ( a , f a ) não é definido.

Esta é a definição formal da derivada da função f no ponto x = a . Ela representa o limite de uma sequência de coeficientes angulares de retas secantes que se aproximam da reta tangente em x = a .

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.1), vamos resolver a questão.

  1. Iremos substituir x = a e f x = x 2 na equação.
  2. m a = f a + h - f a h  

    = a + h 2 - a 2 h  

    Observe que se substituirmos o valor de h na equação, o denominador será igual a zero, logo temos o caso de um limite contendo indeterminação. Para resolver este limite, contornando a indeterminação, vamos expandir o trinômio quadrado perfeito,

    = a 2 + 2 a h + h 2 - a 2 h  

    Eliminando os termos iguais,

    = 2 a h + h 2 h  

    Simplificando a equação,

    = h ( 2 a + h ) h  

    = 2 a + h  

    Agora vamos substituir o valor de h na equação.

    m a = 2 a + h   = 2 a + 0

    m a = 2 a

    Passo 3

    Para esboçar o gráfico da equação e das tangentes nos pontos de coordenadas -x. - 2 , - 1 , 1 e 2 , vamos encontrar os respectivos coeficientes angulares nesses pontos.

  • Ponto - 2 m a = 2 × - 2 = - 4
  • Agora para encontrar a equação da tangente vamos utilizar a equação fundamental da reta que possui o ponto P - 2,4 e coeficiente angular igual a m a = - 4 .

    y - y 0 = m a ( x - x 0 )

    Substituindo os valores, temos que,

    y - 4 = - 4 ( x - ( - 2 ) )

    y - 4 = - 4 x - 8

    y = - 4 x - 8 + 4

    y = - 4 x - 4

  • Ponto - 1 m a = 2 × - 1 = - 2
  • Agora para encontrar a equação da tangente vamos utilizar a equação fundamental da reta que possui o ponto P - 1,1 e coeficiente angular igual a m a = - 2 .

    y - y 0 = m a ( x - x 0 )

    Substituindo os valores, temos que,

    y - 1 = - 2 ( x - ( - 1 ) )

    y - 1 = - 2 x - 2

    y = - 2 x - 2 + 1

    y = - 2 x - 1

  • Ponto 1 m a = 2 × 1 = 2
  • Agora para encontrar a equação da tangente vamos utilizar a equação fundamental da reta que possui o ponto P 1,1 e coeficiente angular igual a m a = 2 .

    y - y 0 = m a ( x - x 0 )

    Substituindo os valores, temos que,

    y - 1 = 2 ( x - 1 )

    y - 1 = 2 x - 2

    y = 2 x - 2 + 1

    y = 2 x - 1

  • Ponto 2 m a = 2 × 2 = 4

Agora para encontrar a equação da tangente vamos utilizar a equação fundamental da reta que possui o ponto P 2,4 e coeficiente angular igual a m a = 4 .

y - y 0 = m a ( x - x 0 )

Substituindo os valores, temos que,

y - 4 = 4 ( x - 2 )

y - 4 = 4 x - 8

y = 4 x - 8 + 4

y = 4 x - 4

Passo 3

  • Para determinar o ponto em que o coeficiente angular da tangente é m = 6 , vamos substituir o coeficiente na equação da tangente.
  • m a = 2 a

    6 = 2 a

    a = 6 2

    a = 3

    Já sabemos o valor do ponto x . Para determinar y vamos substituir em f ( x ) ,

    f x = x 2 = 3 2

    f x = 9

    Logo o ponto é P ( 3,9 ) .

    Resposta

    a   R e s p o n d i d o   a c i m a

    b   P ( 3,9 )