1. Esboce o gráfico da equação e das tangentes nos pontos de coordenadas -x. - 2 , - 1 , 1 e 2 .
  2. Determine o ponto em que o coeficiente angular da tangente é m .

y = x 3 ;                           m = 9

Passo 1

Segundo a Definição (3.1), o coeficiente angular m a da tangente ao gráfico de uma função f em P ( a , f a ) é

m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

Desde que o limite exista.

Se o limite na Definição (3.1) não existe, então o coeficiente angular da tangente em P ( a , f a ) não é definido.

Esta é a definição formal da derivada da função f no ponto x = a . Ela representa o limite de uma sequência de coeficientes angulares de retas secantes que se aproximam da reta tangente em x = a .

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.1), vamos resolver a questão.

  1. Iremos substituir x = a e f x = x 3 na equação.
  2. m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

    = lim h  → 0 ⁡ a + h 3 - ( a 3 ) h

    Segundo a fórmula do cubo perfeito, a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Analogamente, temos que

    = lim h  → 0 ⁡ a 3 + 3 a 2 h + 3 a h 2 + h 3 - ( a 3 ) h

    = lim h  → 0 ⁡ a 3 + 3 a 2 h + 3 a h 2 + h 3 - a 3 h

    Eliminando os termos iguais,

    = lim h  → 0 ⁡ 3 a 2 h + 3 a h 2 + h 3 h

    Colocando em evidência o termo comum no numerador e eliminando os termos iguais,

    = lim h  → 0 ⁡ h ( 3 a 2 + 3 a h + h 2 ) h

    m a = lim h  → 0 ⁡ 3 a 2 + 3 a h + h 2

    Agora, vamos substituir o valor de h na equação.

    m a = lim h  → 0 ⁡ 3 a 2 + 3 a h + h 2 = 3 a 2 + 3 a × 0 + 0 2 = 3 a 2 + 0 + 0

    m a = 3 a 2

    Passo 3

    Para esboçar o gráfico da equação e das tangentes nos pontos de coordenadas -x. - 2 , - 1 , 1 e 2 , vamos encontrar os respectivos coeficientes angulares nesses pontos.

  • Ponto - 2 m a = 3 × - 2 2 = 3 × 4 = 12
  • Agora para encontrar a equação da tangente vamos utilizar a equação fundamental da reta que possui o ponto P - 2 , - 8 e coeficiente angular igual a m a = 12 .

    y - y 0 = m a ( x - x 0 )

    Substituindo os valores, temos que,

    y - ( - 8 ) = 12 ( x - ( - 2 ) )

    y + 8 = 12 x + 24

    y = 12 x + 24 - 8

    y = 12 x + 16

  • Ponto - 1 m a = 3 × - 1 2 = 3 × 1 = 3
  • Agora para encontrar a equação da tangente vamos utilizar a equação fundamental da reta que possui o ponto P - 1 , - 1 e coeficiente angular igual a m a = 3 .

    y - y 0 = m a ( x - x 0 )

    Substituindo os valores, temos que,

    y - ( - 1 ) = 3 ( x - ( - 1 ) )

    y + 1 = 3 x + 3

    y = 3 x + 3 - 1

    y = 3 x + 2

  • Ponto 1 m a = 3 × 1 2 = 3 × 1 = 3
  • Agora para encontrar a equação da tangente vamos utilizar a equação fundamental da reta que possui o ponto P 1,1 e coeficiente angular igual a m a = 3 .

    y - y 0 = m a ( x - x 0 )

    Substituindo os valores, temos que,

    y - 1 = 3 ( x - 1 )

    y - 1 = 3 x - 3

    y = 3 x - 3 + 1

    y = 3 x - 2

  • Ponto 2 m a = 3 × 2 2 = 3 × 4 = 12

Agora para encontrar a equação da tangente vamos utilizar a equação fundamental da reta que possui o ponto P 2,8 e coeficiente angular igual a m a = 12 .

y - y 0 = m a ( x - x 0 )

Substituindo os valores, temos que,

y - 8 = 12 ( x - 2 )

y - 8 = 12 x - 24

y = 12 x - 24 + 8

y = 12 x - 16

Passo 3

  • Para determinar o ponto em que o coeficiente angular da tangente é m = 9 , vamos substituir o coeficiente na equação da tangente.
  • m a = 3 a 2

    9 = 3 a 2

    a 2 = 9 3

    a 2 = 3

    a = 3

    Já sabemos o valor do ponto x . Para determinar y vamos substituir em f ( x ) ,

    f x = x 3 = 3 3 = 3 3 = 3 2 × 3

    f x = 3 3

    Logo o ponto é P ( 3,9 ) .

    Resposta

    a   R e s p o n d i d o   a c i m a

    b   P ( √ 3 , 3 √ 3 )