4. Esboce os gráficos das elipses marcando os focos:

  1. x 2 25 + y 2 4 = 1
  2. 2 x 2 + 3 y 2 = 6
  3. x 2 4 + y 2 16 = 1

Passo 1

Galerinha, nessa questão não tem muito segredo. Todas as elipses dessa questão estão centradas na origem, então as coisas ficam mais simples. Só precisamos descobrir as extremidades e os focos. Para descobrir as extremidades, fazemos x = 0 ou y = 0 e resolvemos a equação. Para descobrir os focos, usamos a distância focal. Bora lá?

  1. O eixo maior é a = 5 , o menor é b = 2 e c é dado por
  2. a 2 = b 2 + c 2 ⇒ c 2 = a 2 - b 2 = 25 - 4 = 21

    ⇒ c = ± 21

    Como o eixo maior está em O x , então a coordenada y dos focos é y = 0 . Assim,

    F 1 = ( - 21 , 0 ) ,   F 2 = ( 21 , 0 )

    Fazendo x = 0 , ficamos com

    y 2 4 = 1 ⇒ y = ± 2 ⇒ ( 0 , - 2 ) ,   ( 0,2 )  

    Fazendo y = 0 , ficamos com

    x 2 25 = 1 ⇒ x = ± 5 ⇒ ( - 5,0 ) ,   ( 5,0 )

    Agora que temos os focos e as extremidades dos eixos, podemos desenhar a elipse.

    Passo 2

  3. Vamos dividir a equação por 6
  4. 2 x 2 + 3 y 2 = 6 ⇒ x 2 3 + y 2 2 = 1

    Assim, o eixo maior está em O x , temos a = 3 , b = 2 e

    a 2 = b 2 + c 2 ⇒ c 2 = a 2 - b 2 = 3 - 2 = 1

    ⇒ c = ± 1

    Então, os focos estão ( - 1,0 ) ,   ( 1,0 ) . Agora, vamos encontrar as extremidades. Para x = 0 , temos

    y 2 2 = 1 ⇒ y = ± 2 ⇒ ( 0 , - 2 ) ,   ( 0 , 2 )

    Para y = 0 , temos

    x 2 3 = 1 ⇒ x = ± 3 ⇒ ( - 3 , 0 ) ,   ( 3 , 0 )

    Beleza, agora podemos desenhar a elipse

    Passo 3

  5. Observando a elipse x 2 4 + y 2 16 = 1 , dá pra gente notar que a 2 = 16 ,   b 2 = 4 . Então, os focos estão no eixo O y . Além disso,

a 2 = b 2 + c 2 ⇒ c 2 = a 2 - b 2 = 16 - 4 = 12 ⇒ c = ± 12

Então, os focos são ( - 12 , 0 ) ,   ( 12 , 0 ) . Vamos calcular as extremidades. Para x = 0 , temos

y 2 16 = 1 ⇒ y = ± 4 ⇒ ( 0 , - 4 ) , ( 0,4 )

Para y = 0 , temos

x 2 4 = 1 ⇒ x = ± 2 ⇒ ( - 2,0 ) , ( 2,0 )

O desenho da elipse fica assim

Resposta

Veja as figuras acima