Esboce, no mesmo plano de coordenadas, os gráficos de f para os valores dados de c . (Utilize simetrias, translações verticais, translações horizontais, alongamento ou reflexão.)

f x = c 4 - x 2   ;         c = 0 ,   3 , - 2

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nesta questão vamos trabalhar com domínio e imagem de funções. O gráfico de uma função que contém apenas um termo que é depende de x passa pela origem. Quando há mais termos ou uma constante multiplicando a variável x , o gráfico sofrerá algumas mudanças sendo elas:

  1. Simetria
  2. Pode ser de duas formas: se for par (gráfico é simétrico em relação ao eixo Y ) ou ímpar (gráfico é simétrico em relação a origem).

  3. Translação vertical
  4. Ocorrerá quando aparecer uma soma de uma constante k com a função → f x + k . Se k > 0 , haverá deslocamento do gráfico para cima de k unidades. Se k < 0 , haverá deslocamento do gráfico para baixo de k unidades.

  5. Translação horizontal
  6. Ocorre quando aparece uma soma de uma constante k no argumento da função → f x + k . Se k > 0 , haverá deslocamento do gráfico para a esquerda de k unidades. Se k < 0 , haverá deslocamento do gráfico para a direita de k unidades.

  7. Alongamento ou compressão
  8. Ocorre quando toda a função, ou apenas o argumento da função, é multiplicado por uma constante k .

    —Para o caso de multiplicar toda a função →   k f ( x ) . Se 0 < k < 1 , ocorrerá uma compressão do gráfico da função, ficando menor (mais achatado) na direção vertical. Se k > 1 , ocorrerá um alongamento do gráfico da função, ficando maior (mais alongado) na direção vertical.

    — Para o caso de multiplicar apenas o argumento → f ( x k ) . Se 0 < k < 1 , ocorrerá um alongamento do gráfico da função, ficando maior (mais alongado) na direção horizontal. Se k > 1 , ocorrerá uma compressão do gráfico da função, ficando menor (mais achatado) na direção horizontal.

  9. Reflexão

Ocorre quando os gráficos são refletidos entorno de um eixo de reflexão.

— Quando se quer refletir o gráfico em relação eixo X , ou seja, a função refletida estará do outro lado do eixo X , o gráfico y = f ( x ) se torna y = - f ( x ) .

— Quando se quer refletir o gráfico em relação eixo Y , ou seja, a função refletida estará do outro lado do eixo Y , o gráfico y = f ( x ) se torna y = f ( - x ) .

Passo 2

Compreendendo os conceitos do Passo 1, vamos começar a resolução.

O enunciado nos deu a função abaixo com variação da constante para os valores c = 0 , 3 , - 2 .

f x = c 4 - x 2    

Se reescrevermos essa função, iremos nos deparar com uma função conhecida: equação geral da circunferência

x 2 + y 2 + m x + n y + p = 0       ↔   y 2 c = 4 - x 2

Podemos concluir que, como y , na equação original, não está elevado ao quadrado, todos os seus valores serão positivos, logo temos um semicírculo com raio igual a 2 (se x = 0   → f 0 = 4 - 0 = 4 = 2 ). A constante c está em multiplicando a função o que indica um alongamento ou compressão na vertical. Tome cuidado com o sinal de c , porque se for positivo, teremos o hemisfério superior da circunferência. Se for negativo, teremos o hemisfério inferior da circunferência.

  1. Para c = 0 , o gráfico se torna uma reta para todos os valores de x , f x = 0        
  2. Para c = 3 , o gráfico irá se alongar para cima com ponto máximo no ponto P 0 , 6 , g x = 3 4 - x 2      
  3. Para c = - 2 , o gráfico irá se alongar para baixo com ponto mínimo no ponto P ( 0 , - 4 ) , h x = - 2 4 - x 2

A seguir temos o gráfico com as três funções.

Até a próxima!! =]

Resposta

R e s o l u ç ã o   n o s   p a s s o s   a n t e r i o r e s