Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule a área.

x + y = 3       ;       y + x 2 = 3

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com integração definida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

Se f e g são funções contínuas e f x ≥ g ( x ) para todo x em [ a , b ] , então a área A da região delimitada pelos gráficos de f , g , x = a e x = b é

A = ∫ a b [ f x - g ( x ) ] d x

A fronteira superior é a função da curva de cima e a fronteira inferior é a função da curva debaixo. Esta fórmula também é válida para números negativos.

Algumas funções simples já tem suas antiderivadas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A seguir, temos algumas propriedades:

i     ∫ c f x d x = c ∫ f x d x     p a r a   q u a l q u e r   c o n s t a n t e   c

i i     ∫ f x + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

i i i     ∫ f x - g x d x = ∫ f x d x - ∫ g x d x

Passo 2

O nosso primeiro objetivo é esboçar os gráficos das equações dadas e identificar a área delimitada por eles. Para esboçar um gráfico temos que adotar valores de arbitrários de x para encontrar vários pontos ( x , y ) e traçar a curva. Abaixo temos o gráfico com a área entre eles destacada.

  • Azul →   y + x 2 = 3
  • Verde →   y + x = 3

Passo 3

Para o cálculo da área, temos que identificar as funções que representam as fronteiras superior e a inferior e os pontos do intervalo [ a , b ] .

  1. Fronteira superior → 3 - x 2
  2. Fronteira inferior → 3 - x
  3. Ponto → a = 0
  4. Ponto → b = 1

Agora vamos substituí-los na fórmula da área e resolver a integral

A = ∫ 0 1 3 - x 2 - 3 - x d x

= ∫ 0 1 3 d x - ∫ 0 1 x 2 d x - ∫ 0 1 3 d x + ∫ 0 1 x d x

= 3 ∫ 0 1 x 0 d x - ∫ 0 1 x 2 d x - 3 ∫ 0 1 x 0 d x + ∫ 0 1 x 1 d x

= 3 x 0 + 1 0 + 1 0 1 - x 2 + 1 2 + 1 0 1 - 3 x 0 + 1 0 + 1 0 1 + x 1 + 1 1 + 1 0 1

= 3 x 0 1 - x 3 3 0 1 - 3 x 0 1 + x 2 2 0 1

= 3 × 1 - 3 × 0 - 1 3 3 - 0 3 3 - 3 × 1 - 3 × 0 + 1 2 2 - 0 2 2

= 3 - 1 3 - 3 + 1 2

= - 1 3 + 1 2

= - 2 + 3 6

Logo,

A = 1 6

Até a próxima! =]

Resposta

A = 1 6