Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule a área.

x = y 2       ;       y - x = 2       ;       y = - 2       ;       y = 3

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com integração definida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

Se f e g são funções contínuas e f x ≥ g ( x ) para todo x em [ a , b ] , então a área A da região delimitada pelos gráficos de f , g , x = a e x = b é

A = ∫ a b [ f x - g ( x ) ] d x

A fronteira superior é a função da curva de cima e a fronteira inferior é a função da curva debaixo. Esta fórmula também é válida para números negativos.

Algumas funções simples já tem suas antiderivadas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A seguir, temos algumas propriedades:

i     ∫ c f x d x = c ∫ f x d x     p a r a   q u a l q u e r   c o n s t a n t e   c

i i     ∫ f x + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

i i i     ∫ f x - g x d x = ∫ f x d x - ∫ g x d x

Passo 2

O nosso primeiro objetivo é esboçar os gráficos das equações dadas e identificar a área delimitada por eles. Para esboçar um gráfico temos que adotar valores de arbitrários de x para encontrar vários pontos ( x , y ) e traçar a curva. Abaixo temos o gráfico com a área entre eles destacada.

  • Azul →   y - x = 2
  • Verde →   y 2 = x
  • Laranja →   y = - 2
  • Violeta →   y = 3

Passo 3

Para o cálculo da área, temos que identificar as funções que representam as fronteiras superior e a inferior e os pontos do intervalo [ a , b ] . Observe que o gráfico está em função de y , girado para a esquerda, logo vamos encontrar o intervalo da integral definida em função de y . Observe que da perspectiva do eixo Y a função superior é a que está à direita e a inferior é a que está à esquerda.

  1. Fronteira superior → y 2
  2. Fronteira inferior → y - 2
  3. Ponto → a = - 2
  4. Ponto → b = 3

Agora vamos substituí-los na fórmula da área e resolver a integral

A = ∫ - 2 3 y 2 - y - 2 d y

= ∫ - 2 3 y 2 - y + 2 d y

= ∫ - 2 3 y 2 d y - ∫ - 2 3 y 1 d y + 2 ∫ - 2 3 y 0 d y

= y 2 + 1 2 + 1 - 2 3 - y 1 + 1 1 + 1 - 2 3 + 2 y 0 + 1 0 + 1 - 2 3

= y 3 3 - 2 3 - y 2 2 - 2 3 + 2 y - 2 3

= 3 3 3 - - 2 3 3 - 3 2 2 - ( - 2 ) 2 2 + 2 × 3 - 2 × - 2

= 27 3 - - 8 3 - 9 2 + 4 2 + 6 + 4

= 9 + 8 3 - 9 2 + 2 + 6 + 4

= 8 3 - 9 2 + 21

= 16 - 27 + 126 6

Logo,

A = 115 6

Até a próxima! =]

Resposta

A = 115 6