Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule a área.

x = y 3 + 2 y 2 - 3 y       ;       x = 0

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com integração definida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

Se f e g são funções contínuas e f x ≥ g ( x ) para todo x em [ a , b ] , então a área A da região delimitada pelos gráficos de f , g , x = a e x = b é

A = ∫ a b [ f x - g ( x ) ] d x

A fronteira superior é a função da curva de cima e a fronteira inferior é a função da curva debaixo. Esta fórmula também é válida para números negativos.

Algumas funções simples já tem suas antiderivadas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A seguir, temos algumas propriedades:

i     ∫ c f x d x = c ∫ f x d x     p a r a   q u a l q u e r   c o n s t a n t e   c

i i     ∫ f x + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

i i i     ∫ f x - g x d x = ∫ f x d x - ∫ g x d x

Passo 2

O nosso primeiro objetivo é esboçar os gráficos das equações dadas e identificar a área delimitada por eles. Para esboçar um gráfico temos que adotar valores de arbitrários de x para encontrar vários pontos ( x , y ) e traçar a curva. Abaixo temos o gráfico com a área entre eles destacada.

  • Azul →   x = 0      
  • Verde →   x = y 3 + 2 y 2 - 3 y    

Passo 3

Para o cálculo da área, temos que identificar as funções que representam as fronteiras superior e a inferior e os pontos do intervalo [ a , b ] . Observe que o gráfico está em função de y , girado para a esquerda, logo vamos encontrar o intervalo da integral definida em função de y . Observe que da perspectiva do eixo Y a função superior é a que está à direita e a inferior é a que está à esquerda.

Outro detalhe é que o gráfico apresente 2 áreas separadas pelo eixo X . Devido ao fato de que elas são bem definidas e não simétricas, temos que calcular as duas áreas. Assim, considerando A 1 a área do lado esquerdo do eixo Y

  1. Fronteira superior → 0
  2. Fronteira inferior → y 3 + 2 y 2 - 3 y    
  3. Ponto → a = 0
  4. Ponto → b = 1

Para A 2 a área do lado direito do eixo Y

  1. Fronteira superior → y 3 + 2 y 2 - 3 y    
  2. Fronteira inferior → 0
  3. Ponto → a = - 3
  4. Ponto → b = 0

Agora vamos substituí-los na fórmula da área e resolver a integral

A = A 1 + A 2 = ∫ 0 1 0 - y 3 + 2 y 2 - 3 y     d y + ∫ - 3 0 y 3 + 2 y 2 - 3 y     - 0 d y

= ∫ 0 1 - y 3 - 2 y 2 + 3 y d y + ∫ - 3 0 y 3 + 2 y 2 - 3 y d y

= - ∫ 0 1 y 3 d y - 2 ∫ 0 1 y 2 d y + 3 ∫ 0 1 y 1 d y + ∫ - 3 0 y 3 d y + 2 ∫ - 3 0 y 2 d y - 3 ∫ - 3 0 y d y

= - y 3 + 1 3 + 1 0 1 - 2 y 2 + 1 2 + 1 0 1 + 3 y 1 + 1 1 + 1 0 1 + y 3 + 1 3 + 1 - 3 0 + 2 y 2 + 1 2 + 1 - 3 0 - 3 y 1 + 1 1 + 1 - 3 0

= - x 4 4 0 1 - 2 x 3 3 0 1 + 3 x 2 2 0 1 + x 4 4 - 3 0 + 2 x 3 3 - 3 0 - 3 x 2 2 - 3 0

= - 1 4 4 - 0 4 4 - 2 1 3 3 - 0 3 3 + 3 1 2 2 - 0 2 2 + 0 4 4 - - 3 4 4 + 2 0 3 3 - - 3 3 3 - 3 0 2 2 - ( - 3 ) 2 2

= - 1 4 - 2 3 + 3 2 - 81 4 + 54 3 + 27 2

= - 3 - 8 + 18 - 243 + 216 + 162 12

= - 254 + 396 12

= 142 12

Logo,

A = 71 6

Até a próxima! =]

Resposta

A = 71 6