Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule a área.

y = x 3 - x       ;       y = 0

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com integração definida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

Se f e g são funções contínuas e f x ≥ g ( x ) para todo x em [ a , b ] , então a área A da região delimitada pelos gráficos de f , g , x = a e x = b é

A = ∫ a b [ f x - g ( x ) ] d x

A fronteira superior é a função da curva de cima e a fronteira inferior é a função da curva debaixo. Esta fórmula também é válida para números negativos.

Algumas funções simples já tem suas antiderivadas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A seguir, temos algumas propriedades:

i     ∫ c f x d x = c ∫ f x d x     p a r a   q u a l q u e r   c o n s t a n t e   c

i i     ∫ f x + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

i i i     ∫ f x - g x d x = ∫ f x d x - ∫ g x d x

Passo 2

O nosso primeiro objetivo é esboçar os gráficos das equações dadas e identificar a área delimitada por eles. Para esboçar um gráfico temos que adotar valores de arbitrários de x para encontrar vários pontos ( x , y ) e traçar a curva. Abaixo temos o gráfico com a área entre eles destacada.

  • Azul →   y = x 3 - x
  • Verde →   y = 0    

Passo 3

Para o cálculo da área, temos que identificar as funções que representam as fronteiras superior e a inferior e os pontos do intervalo [ a , b ] . Observe que o gráfico apresente 2 áreas separadas pelo eixo Y . Devido ao fato de que elas são bem definidas, idênticas e opostas, podemos calcular apenas a área de um e depois multiplicar por 2. Assim, fazendo o cálculo para a área a direita do eixo Y

  1. Fronteira superior → 0
  2. Fronteira inferior → x 3 - x
  3. Ponto → a = 0
  4. Ponto → b = 1

Agora vamos substituí-los na fórmula da área e resolver a integral

A = 2 ∫ 0 1 0 - x 3 - x d x

= 2 ∫ 0 1 - x 3 + x d x

= 2 - ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 0 1 x 1 d x

= 2 - x 3 + 1 3 + 1 0 1 + x 1 + 1 1 + 1 0 1

= 2 - x 4 4 0 1 + x 2 2 0 1

= 2 - 1 4 4 - 0 4 4 + 1 2 2 - 0 2 2

= 2 - 1 4 + 1 2

= 2 - 1 + 2 4

= 2 1 2

Logo,

A = 1

Até a próxima! =]

Resposta

A = 1