Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule a área.

x = y 2 3       ;       x = y 2

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com integração definida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

Se f e g são funções contínuas e f x ≥ g ( x ) para todo x em [ a , b ] , então a área A da região delimitada pelos gráficos de f , g , x = a e x = b é

A = ∫ a b [ f x - g ( x ) ] d x

A fronteira superior é a função da curva de cima e a fronteira inferior é a função da curva debaixo. Esta fórmula também é válida para números negativos.

Algumas funções simples já tem suas antiderivadas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A seguir, temos algumas propriedades:

i     ∫ c f x d x = c ∫ f x d x     p a r a   q u a l q u e r   c o n s t a n t e   c

i i     ∫ f x + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

i i i     ∫ f x - g x d x = ∫ f x d x - ∫ g x d x

Passo 2

O nosso primeiro objetivo é esboçar os gráficos das equações dadas e identificar a área delimitada por eles. Para esboçar um gráfico temos que adotar valores de arbitrários de x para encontrar vários pontos ( x , y ) e traçar a curva. Abaixo temos o gráfico com a área entre eles destacada.

  • Azul →   x = y 2      
  • Verde →   x = y 2 3    

Passo 3

Para o cálculo da área, temos que identificar as funções que representam as fronteiras superior e a inferior e os pontos do intervalo [ a , b ] . Observe que o gráfico está em função de y , girado para a esquerda, logo vamos encontrar o intervalo da integral definida em função de y . Observe que da perspectiva do eixo Y a função superior é a que está à direita e a inferior é a que está à esquerda.

Outro detalhe é que o gráfico apresente 2 áreas separadas pelo eixo X . Devido ao fato de que elas são bem definidas e simétricas, podemos calcular apenas a área de um e depois multiplicar por 2. Assim, fazendo o cálculo para a área acima do eixo X

  1. Fronteira superior → y 2 3
  2. Fronteira inferior → y 2
  3. Ponto → a = 0
  4. Ponto → b = 1

Agora vamos substituí-los na fórmula da área e resolver a integral

A = 2 ∫ 0 1 y 2 3 - y 2 d y

= 2 ∫ 0 1 y 2 3 - y 2 d y

= 2 ∫ 0 1 y 2 3 d y - ∫ 0 1 y 2 d y

= 2 y 2 3 + 1 2 3 + 1 0 1 - y 2 + 1 2 + 1 0 1

= 2 3 y 5 3 5 0 1 - y 3 3 0 1

= 2 3 × 1 5 3 5 - 3 × 0 5 3 5 - 1 3 3 - 0 3 3

= 2 3 5 - 1 3

= 2 9 - 5 15

= 2 4 15

Logo,

A = 8 15

Até a próxima! =]

Resposta

A = 8 15