Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule a área.

y = x 3 - x 2 - 6 x       ;       y = 0

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com integração definida e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre esses conceitos.

Se f e g são funções contínuas e f x ≥ g ( x ) para todo x em [ a , b ] , então a área A da região delimitada pelos gráficos de f , g , x = a e x = b é

A = ∫ a b [ f x - g ( x ) ] d x

A fronteira superior é a função da curva de cima e a fronteira inferior é a função da curva debaixo. Esta fórmula também é válida para números negativos.

Algumas funções simples já tem suas antiderivadas tabeladas, o que facilita o cálculo de funções que são a mistura de algumas delas ou de funções mais complexas. A seguir, temos algumas propriedades:

i     ∫ c f x d x = c ∫ f x d x     p a r a   q u a l q u e r   c o n s t a n t e   c

i i     ∫ f x + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

i i i     ∫ f x - g x d x = ∫ f x d x - ∫ g x d x

Passo 2

O nosso primeiro objetivo é esboçar os gráficos das equações dadas e identificar a área delimitada por eles. Para esboçar um gráfico temos que adotar valores de arbitrários de x para encontrar vários pontos ( x , y ) e traçar a curva. Abaixo temos o gráfico com a área entre eles destacada.

  • Azul →   y = x 3 - x 2 - 6 x          
  • Verde → y = 0  

Passo 3

Para o cálculo da área, temos que identificar as funções que representam as fronteiras superior e a inferior e os pontos do intervalo [ a , b ] . Observe que o gráfico apresente 2 áreas separadas pelo eixo X . Devido ao fato de que elas são bem definidas e não simétricas, temos que calcular as duas áreas. Assim, considerando A 1 a área do lado esquerdo do eixo Y

  1. Fronteira superior → x 3 - x 2 - 6 x
  2. Fronteira inferior → 0
  3. Ponto → a = - 2
  4. Ponto → b = 0

Para A 2 a área do lado direito do eixo Y

  1. Fronteira superior → 0
  2. Fronteira inferior → x 3 - x 2 - 6 x
  3. Ponto → a = 0
  4. Ponto → b = 3

Agora vamos substituí-los na fórmula da área e resolver a integral

A = A 1 + A 2 = ∫ - 2 0 x 3 - x 2 - 6 x - 0 d x + ∫ 0 3 0 - x 3 - x 2 - 6 x d x

= ∫ - 2 0 x 3 - x 2 - 6 x d x + ∫ 0 3 - x 3 + x 2 + 6 x d x

= ∫ - 2 0 x 3 d x - ∫ - 2 0 x 2 d x - 6 ∫ - 2 0 x 1 d x - ∫ 0 3 x 3 d x + ∫ 0 3 x 2 d x + 6 ∫ 0 3 x 1 d x

= x 3 + 1 3 + 1 - 2 0 - x 2 + 1 2 + 1 - 2 0 - 6 x 1 + 1 1 + 1 - 2 0 - x 3 + 1 3 + 1 0 3 + x 2 + 1 2 + 1 0 3 + 6 x 1 + 1 1 + 1 0 3

= x 4 4 - 2 0 - x 3 3 - 2 0 - 6 x 2 2 - 2 0 - x 4 4 0 3 + x 3 3 0 3 + 6 x 2 2 0 3

= 0 4 4 - ( - 2 ) 4 4 - 0 3 3 - - 2 3 3 - 6 0 2 2 - ( - 2 ) 2 2 - 3 4 4 - 0 4 4 + 3 3 3 - 0 3 3 + 6 3 2 2 - 0 2 2

= - 16 4 - 8 3 + 24 2 - 81 4 + 27 3 + 54 2

= - 4 - 8 3 + 12 - 81 4 + 9 + 27

= - 48 - 32 + 144 - 243 + 108 + 324 12

= - 323 + 576 12

Logo,

A = 253 12

Até a próxima! =]

Resposta

A = 253 12