Escreva v = ( 2,5 ) como uma combinação linear de u 1 e u 2 , sendo

a) u 1 = ( 1,2 ) e u 2 = ( 3,5 )

b) u 1 = ( 3 , - 4 ) e u 2 = ( 2 , - 3 )

Passo 1

Oieee gente

Para encontrarmos uma combinação linear, vamos escrever o vetor v assim:

v = α . u 1 + β . u 2

E aí vamos cair em um sistema onde queremos encontrar os valores de α e β , fechou?

Vamos lá então

Passo 2

a) u 1 = ( 1,2 ) e u 2 = ( 3,5 )

Vamos escrever v assim:

v = α . 1,2 + β . 3,5

2,5 = α . 1,2 + β . 3,5

Multiplicando os escalares por cada coordenada dos vetores:

2,5 = α , 2 α + ( 3 β , 5 β )

Somando as coordenadas:

2,5 = α + 3 β , 2 α + 5 β

Igualando coordenada com coordenada, caímos no sistema:

α + 3 β = 2 2 α + 5 β = 5

Fechou, agora é só resolvermos esse sistema 😉

Passo 3

Temos

α + 3 β = 2 2 α + 5 β = 5

Vamos multiplicar a equação de cima por -2:

- 2 α - 6 β = - 4 2 α + 5 β = 5

Somando as duas equações, conseguimos sumir com o α e encontrar o β

- β = 1

β = 1

Agora vamos encontrar α substituindo β = 1 na primeira equação (ou na segunda, você que sabe hahahaha)

α + 3 = 2

α = - 1

Aeee, então nossa combinação linear é

2,5 = α . 1,2 + β . 3,5

2,5 = - 1 . 1,2 + 1 . 3,5

Passo 4

b) u 1 = ( 3 , - 4 ) e u 2 = ( 2 , - 3 )

Vamos escrever v assim:

v = α . 3 , - 4 + β . 2 , - 3

2,5 = α . 3 , - 4 + β . 2 , - 3

Multiplicando os escalares por cada coordenada dos vetores:

2,5 = 3 α , - 4 α + ( 2 β , - 3 β )

Somando as coordenadas:

2,5 = 3 α + 2 β , - 4 α - 3 β

Igualando coordenada com coordenada, caímos no sistema:

3 α + 2 β = 2 - 4 α - 3 β = 5

Agora é só resolvermos esse sistema 😉

Passo 5

Temos

3 α + 2 β = 2 - 4 α - 3 β = 5

Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2, temos

9 α + 6 β = 6 - 8 α - 6 β = 10

Somando as duas equações, conseguimos encontrar o α :

α = 16

Agora substituindo α = 16 na primeira equação, temos

3 × 16 + 2 β = 2

48 + 2 β = 2

2 β = - 46

β = - 23

Então, a nossa combinação linear fica assim

2,5 = α . 3 , - 4 + β . 2 , - 3

2,5 = 16 . 3 , - 4 - 23 . 2 , - 3

Show!

Resposta

a) 2,5 = - 1 . 1,2 + 1 . 3,5

b) 2,5 = 16 . 3 , - 4 - 23 . 2 , - 3