Escreva v = ( 9 , - 3,16 ) como uma combinação linear de u_1 = (1,2 , 3) , u_2 = (2,5 , - 1) , u_3 = ( 4 , - 2,3 )

Passo 1

Oieee gente

Para encontrarmos uma combinação linear, vamos escrever o vetor v assim:

v = alpha . u_1 + beta . u_2 + gamma . u_3

E aí vamos cair em um sistema onde queremos encontrar os valores de alpha , beta e gamma , fechou?

Vamos lá então

Passo 2

Temos u_1 = (1,2 , 3) , u_2 = (2,5 , - 1) , u_3 = ( 4 , - 2,3 )

Vamos escrever v assim:

v = alpha . (1,2 , 3) + beta . (2,5 , - 1) + gamma . ( 4 , - 2,3 )

( 9 , - 3,16 ) = alpha . (1,2 , 3) + beta . (2,5 , - 1) + gamma . ( 4 , - 2,3 )

Multiplicando os escalares por cada coordenada dos vetores:

( 9 , - 3,16 ) = (alpha , 2 alpha , 3 alpha) + (2 beta , 5 beta , - beta) + ( 4 gamma , - 2 gamma , 3 gamma )

Somando as coordenadas:

( 9 , - 3,16 ) = (alpha + 2 beta + 4 gamma , 2 alpha + 5 beta - 2 gamma , 3 alpha - beta + 3 gamma)

Igualando coordenada com coordenada, caímos no sistema:

{[[alpha + 2 beta + 4 gamma = 9],[2 alpha + 5 beta - 2 gamma = - 3],[3 alpha - beta + 3 gamma = 16]])

Fechou, agora é só resolvermos esse sistema 😉

Passo 3

Temos

{[[alpha + 2 beta + 4 gamma = 9],[2 alpha + 5 beta - 2 gamma = - 3],[3 alpha - beta + 3 gamma = 16]])

Esse sistema tem essa matriz aumentada:

[[[1,2,4],[2,5,-,2],[3,-,1,3]]] [[9],[-,3],[16]]

Vamos escalonar para resolvermos o nosso sistema, ok?

L 2 -> L 2 - 2 L 1

L 3 -> L 3 - 3 L 1

[[[1,2,4],[0,1,-,10],[0,-,7,-,9]]] [[9],[-,21],[-,11]]

E agora fazemos L 3 -> L 3 + 7 L 2

[[[1,2,4],[0,1,-,10],[0,0,-,79]]] [[9],[-,21],[-,158]]

Passo 4

A nossa matriz escalonada é

[[[1,2,4],[0,1,-,10],[0,0,25]]] [[9],[-,21],[92]]

Então o sistema fica assim:

{[[alpha + 2 beta + 4 gamma = 9],[beta - 10 gamma = - 21],[- 79 gamma = - 158]])

Da terceira equação, temos

gamma = (158)/(79) = 2

Substituindo na segunda equação:

beta - 20 = - 21

beta = - 1

Substituindo esses valores na primeira equação:

alpha + 2 xx ( - 1 ) + 4 xx 2 = 9

alpha + 6 = 9

alpha = 3

Show, então nossa combinação linear fica assim

( 9 , - 3,16 ) = alpha . (1,2 , 3) + beta . (2,5 , - 1) + gamma . ( 4 , - 2,3 )

(9 , - 3,16) = 3 . (1,2 , 3) - 1 . (2,5 , - 1) + 2 . ( 4 , - 2,3 )

Resposta

(9 , - 3,16) = 3 . (1,2 , 3) - 1 . (2,5 , - 1) + 2 . ( 4 , - 2,3 )