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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.7 - Ex. 171

Escreva uma equação cartesiana do plano que passa por A   =   ( 2 , - 1,3 ) e B   =   ( 3,1 , 2 ) e que é paralelo ao vetor ( 3 , - 1 , - 4 ) .

Passo 1

Galera, precisamos de três vetores para determinar um plano. Como o plano é paralelo ao vetor ( 3 , - 1 , - 4 ) , esse já é um dos vetores que precisamos. Além disso, o plano passa pelo pontos A   =   ( 2 , - 1,3 ) e B   =   ( 3,1 , 2 ) e vamos pegar um ponto X = ( x , y , z ) no plano para obter mais dois vetores do plano:

A B → = B - A = ( 3,1 , 2 ) - ( 2 , - 1,3 ) = ( 1,2 , - 1 )

A X → = X - A = ( x , y , z ) - ( 2 , - 1,3 ) = ( x - 2 , y + 1 , z - 3 )

Passo 2

Os três vetores do passo anterior são l.d. porque pertencem ao plano. Assim, o determinante deles é nulo:

⎜ x - 2               y + 1         z - 3   ⎜

⎜         3                   -   1               - 4           ⎜ = ( x - 2 ) ( 1 + 8 ) - ( y + 1 ) ( - 3 + 4 ) + ( z - 3 ) ( 6 + 1 ) = 0

⎜         1                                   2               - 1           ⎜

⇒ 9 x - 18 -   y - 1 + 7 z - 21 = 0

⇒ 9 x -   y + 7 - 40 = 0

Assim, o plano que queremos tem equação:

9 x -   y + 7 z - 40 = 0

Resposta

9 x -   y + 7 z - 40 = 0