Escreva uma equação cartesiana do plano que passa por A   = ( 2 , - 1,1 ) e é perpendicular aos planos 2 x - z + 1 = 0 e y   =   0 .

Passo 1

E aí, gente? Tudo tranquilo?

O plano que nós queremos é perpendicular aos planos 2 x - z + 1 = 0 e y   =   0 , ou seja, seu vetor normal é perpendicular aos vetores normais desses planos, que são e n → = ( 2,0 , - 1 ) e m → = ( 0,1 , 0 ) . A melhor maneira de encontrar um vetor perpendicular a outros dois, é calculando o produto vetorial deles

n → ∧ m → =

⎜   i →                           j →                             k →           ⎜

⎜ 2                         0               - 1           ⎜ = ( 1 )   i →   - ( 0 )   j → + ( 2 ) k → = ( 1,0 , 2 )

⎜ 0                         1                             0           ⎜

Ou seja, o vetor normal do plano que queremos é l → = ( 1,0 , 2 ) .

Passo 2

Como o vetor normal do plano que queremos é l → = ( 1,0 , 2 ) , então a equação do plano assume a forma:

x + 2 z + d = 0

Para descobrir o valor de d , vamos lembrar que o plano que passa por A   = ( 2 , - 1,1 ) e substituir as coordenadas desse ponto na equação do plano:

x + 2 z + d = 0 ⇒ 2 + 2 ⋅ 1 + d = 0

⇒ d = - 4

Ou seja, o plano é dado por

x + 2 z - 4 = 0

Resposta

x + 2 z - 4 = 0