Escreva uma equação da maior superfície esférica tangente às superfícies e , sabendo que o seu centro está alinhado com os centros das superfícies dadas.
Passo 1
Bom, galerinha, aqui vamos começar escrevendo as equações das superfícies esféricas na forma reduzida:
e
As duas superfícies tem , a primeira tem centro em e a segunda tem centro em . Como os centros das três esferas estão alinhados, eles fazem parte de uma mesma reta. Além disso, como as duas esferas têm raios iguais, então a esfera tangente deve ter centro no ponto médio entre as duas. Então, vamos calcular o vetor:
Com isso, temos a reta
Quando , temos o ponto e quando , temos o ponto . Então, o ponto médio ocorre quando :
Ou seja, o centro da nova esfera será: .
Passo 2
Com a informação do passo anterior, temos que a esfera que queremos é escrita da seguinte forma:
Para descobrir o raio máximo para essa superfície, vamos calcular a distância entre e . Temos
Então,
Como os raios estão alinhados, então devemos ter que o maior diâmetro possível da nova esfera será o raio (que é o mesmo) das duas esfera mais a distância entre os seus centro . Desse modo, a nova esfera contém as outras duas. Assim, o raio será dado por:
Portanto, a superfície esférica que buscamos é