Escreva uma equação da maior superfície esférica tangente às superfícies x 2 + y 2 + z 2 - 9 = 0 e x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 12 y + 12 z + 72 = 0 , sabendo que o seu centro está alinhado com os centros das superfícies dadas.

Passo 1

Bom, galerinha, aqui vamos começar escrevendo as equações das superfícies esféricas na forma reduzida:

x 2 + y 2 + z 2 - 9 = 0 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = 9

e

x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 12 y + 12 z + 72 = 0

⇒ x 2 - 6 x + 9 - 9 + y 2 - 12 y + 36 - 36 + z 2 + 12 z + 36 - 36 + 72 = 0

⇒ ( x - 3 ) 2 + ( y - 6 ) 2 + ( z + 6 ) 2 = 9

As duas superfícies tem r = 3 , a primeira tem centro em C 1 = ( 0,0 , 0 ) e a segunda tem centro em C 2 = ( 3,6 , - 6 ) . Como os centros das três esferas estão alinhados, eles fazem parte de uma mesma reta. Além disso, como as duas esferas têm raios iguais, então a esfera tangente deve ter centro no ponto médio entre as duas. Então, vamos calcular o vetor:

C 1 C 2 → = C 2 - C 1 = ( 3,6 , - 6 ) - ( 0,0 , 0 ) = ( 3,6 , - 6 )

Com isso, temos a reta

r :   x = 3 t ,   y = 6 t ,   z = - 6 t

Quando t = 0 , temos o ponto C 1 = ( 0,0 , 0 ) e quando t = 1 , temos o ponto C 2 = ( 3,6 , - 6 ) . Então, o ponto médio ocorre quando t = 1 2 :

  x = 3 ⋅ 1 2 = 3 2 ,   y = 6 ⋅ 1 2 = 3 ,   z = - 6 ⋅ 1 2 = - 3

Ou seja, o centro da nova esfera será: C = ( 3 2 , 3 , - 3 ) .

Passo 2

Com a informação do passo anterior, temos que a esfera que queremos é escrita da seguinte forma:

( x - 3 2 ) 2 + ( y - 3 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = r ' 2

Para descobrir o raio máximo para essa superfície, vamos calcular a distância entre C 1 = ( 0,0 , 0 ) e C 2 = ( 3,6 , - 6 ) . Temos

C 1 C 2 → = C 2 - C 1 = ( 3,6 , - 6 ) - ( 0,0 , 0 ) = ( 3,6 , - 6 )

Então,

| C 1 C 2 → | = 9 + 36 + 36 = 81 = 9

Como os raios estão alinhados, então devemos ter que o maior diâmetro possível da nova esfera será o raio (que é o mesmo) das duas esfera mais a distância entre os seus centro | C 1 C 2 → | . Desse modo, a nova esfera contém as outras duas. Assim, o raio r ' será dado por:

2 r '   =   | C 1 C 2 → | + 2 r ⇒ r ' = 1 2 ( | C 1 C 2 → | + 2 r )

⇒ r ' = 1 2 ( 9 + 6 )

⇒ r ' = 15 2

Portanto, a superfície esférica que buscamos é

( x - 3 2 ) 2 + ( y - 3 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 225 4

Resposta

( x - 3 2 ) 2 + ( y - 3 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 225 4