Escreva uma equação do plano que contém o ponto     ( 1 ,   - 2 ,   3 ) e é perpendicular a cada um dos planos 2 x   + y - z   =   2   e   x   -   y   -   z   =   3 .

Passo 1

Oi oi meus Xuxus!

Vocês se lembram qual é a condição para dois planos serem perpendiculares? Basta seus vetores normais u   e   v satisfazerem a equação: u . v = 0

E como vamos determinar esses vetores? O vetor normal de um plano pode ser obtido pelos termos que acompanham as variáveis na equação do plano.

Assim, um vetor normal do plano   2 x   + y - z   =   2 é u = ( 2,1 , - 1 ) e do plano x   -   y   -   z   =   3 é v = ( 1 , - 1 , - 1 )

Para o plano que estamos descobrindo (chamaremos esse plano de plano α ) temos que o vetor normal é n = ( a , b . c ) .

Passo 2

Como vimos acima, para o plano α   ser perpendicular ao plano   2 x   + y - z   =   2 , n . u = 0 .

Então, ( a , b , c ) . ( 2,1 , - 1 ) = 0

2 a + b - c = 0   ( 1 )

Do mesmo jeitinho a gente faz para o plano x   -   y   -   z   =   3 ! n . v = 0

( a , b , c ) . ( 1 , - 1 , - 1 ) = 0

a - b - c = 0   ( 2 )

Igualando ( 1 )   e   ( 2 ) :

2 a + b - c = a - b - c

a + 2 b = 0

a = - 2 b

Somando ( 1 )   e   ( 2 ) :

3 a - 2 c = 0

Mas, a = - 2 b

Então, - 6 b - 2 c = 0

3 b + c = 0

c = - 3 b

Então, temos que n = ( - 2 b , b , - 3 b )

Como qualquer múltiplo escalar não nulo de n também é normal ao plano, tomamos o vetor normal m = - 1 b n = ( 2 , - 1,3 ) .

Passo 3

Vamos recordar como é a forma da equação do plano!

a ( x - x 0 ) + b ( y - y 0 ) + c ( z - z 0 ) = 0 , sendo n = ( a , b , c ) o vetor normal do plano e ( x 0 , y 0 , z 0 ) um ponto do plano.

Então, substituindo m = ( 2 , - 1,3 ) e P ( 1 ,   - 2 ,   3 ) temos:

2 ( x - 1 ) - ( y + 2 ) + 3 ( z - 3 ) = 0

2 x - 2 - y - 2 + 3 z - 9 = 0

2 x - y + 3 z - 13 = 0

Resposta

2 x - y + 3 z - 13 = 0