Escreva uma equação do plano definido pelo ponto   ( 2,1 ,   3 ) e a interseção do plano 2 x   -   y   -   z   =   2   com o plano x y .

Passo 1

Vamos chamar o ponto   ( 2,1 ,   3 ) de ponto P

Vamos começar encontrando a interseção do plano 2 x -   y - z =   2   ( 1 )   com o plano x y .

O plano x y é aquele cuja equação é z = 0   ( 2 ) .

Então, temos que substituir ( 2 )   e m   ( 1 ) :

2 x -   y - 0 =   2

2 x -   y =   2

2 x - 2 = y

É a equação de uma reta.

Passo 2

Vetor normal é aquele que é perpendicular ao plano, geralmente é descrito por n = ( a , b , c ) .

Mas, temos uma equação geral do plano que é obtida com o vetor normal e um ponto P ( x 0 , y 0 , z 0 ) do plano: ( x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ) . ( a , b , c ) = 0 .

Esse vetor normal pode ser obtido pelo produto vetorial entre o vetor diretor da reta e o vetor gerado pelo ponto de origem do vetor diretor da reta e um ponto do plano.

Vamos descobrir o vetor diretor da reta:

Para isso, vamos determinar um vetor pertencente a essa reta, lembrando que z=0:

Supondo y = 0 ,   temos que 2 x - 2 = 0 ,   2 x = 2 ,   x = 1 , ou seja, o ponto A ( 1,0 , 0 ) pertence à reta.

Supondo x = 0 , temos que 2.0 - 2 = y ,   - 2 = y , ou seja, o ponto B ( 0 , - 2,0 ) pertence à reta.

Assim, temos que o vetor diretor da reta será B A   → = ( 1 - 0,0 - ( - 2 ) , 0 - 0 ) = ( 1,2 , 0 ) .

O vetor gerado pelo ponto de origem do vetor diretor da reta B ( 0 , - 2,0 )   e o ponto do plano P ( 2,1 , 3 )   será B P   → = ( 2 - 0,1 - ( - 2 ) ,   3 - 0 ) = ( 2,3 , 3 ) .

Passo 3

Agora é só calcular o produto vetorial B A   → × B P   → :

B A   → × B P   → = ( 1,2 , 0 ) × ( 2,3 , 3 ) =

n = ( 6 , - 3 , - 1 ) e P ( 2,1 , 3 )   , então:

( x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ) . ( a , b , c ) = 0

( x - 2 , y - 1 , z - 3 ) . ( 6 , - 3 , - 1 ) = 0 .

6 x - 12 - 3 y + 3 - z + 3 = 0

6 x - 3 y - z - 6 = 0

Resposta

6 x - 3 y - z - 6 = 0