Escreva uma equação do plano

a) paralelo ao eixo z e que contém os pontos 2,0 , 0   e     0,3 , 2 ;

b) paralelo ao eixo y e que contém os pontos 2,1 , 0   e     0,2 , 1 ;

c) paralelo ao plano yz e que contém o ponto 3,4 , - 1 ;

d) perpendicular ao eixo z e que contém o ponto 1,1 , 1 .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para escrevermos uma equação com base nas opções dadas abaixo,

a) paralelo ao eixo z e que contém os pontos 2,0 , 0   e     0,3 , 2 ;

b) paralelo ao eixo y e que contém os pontos 2,1 , 0   e     0,2 , 1 ;

c) paralelo ao plano yz e que contém o ponto 3,4 , - 1 ;

d) perpendicular ao eixo z e que contém o ponto 1,1 , 1 .

Fica calmo que esta questão vai ser de boa.

Passo 2

Na letra (a) sabendo que,

O plano é paralelo ao eixo z e que contém os pontos 2,0 , 0   e     0,3 , 2 ,

Como é paralelo ao eixo z podemos definir o vetor unitário como v ( 0,0 , 1 )

Chamando os pontos A 2,0 , 0   e     B 0,3 , 2 vamos chegar no,

A B = ( - 2,3 , 2 )

Realizando o produto vetorial,

n = v   x   A B , temos

i j k 0 0 1 - 2 3 2 i j 0 0 - 2 3 → 0 - 3 i + - 2 - 0 j + 0 - 0 k = ( - 3 , - 2,0 )

Ficando n = ( - 3 , - 2,0 )

A x + B y + C z + D = 0

- 3 x - 2 y + D

- 3.2 + D = 0

D = 6

3 x + 2 y = 6

Passo 3

Já na letra (b) sabendo que,

O plano é paralelo ao eixo y e que nos deu os pontos 2,1 , 0   e   ( 0,2 , 1 )

Sendo o plano paralelo a esse eixo podemos também definir que o vetor unitário vale v ( 0,1 , 0 )

Chamando os pontos dados de A 2,1 , 0   e   B ( 0,2 , 1 )

A B = ( - 2,1 , 1 )

Assim realizando o produto vetorial temos

n = v   x   A B

i j k 0 1 0 - 2 1 1 i j 0 1 - 2 1 → 1 - 0 i + 0 - 0 j + 0 - ( - 2 ) k = ( 1,0 , 2 )

Ficando n = ( 1 , 0 , 2 )

A x + B y + C z + D = 0

x + 2 z + D = 0

2 + 2.2 + D = 0

D = 2

x + 2 z = 2

Passo 4

Na letra ( c ) sabendo que,

Sendo o plano paralelo ao plano yz tendo sido dado os pontos ( 3,4 , 1 )

E como o plano é paralelo a yz podemos chamar seu vetor unitário como v ( 0,1 , 1 ) e chamando o ponto dado de A ( 3,4 , 1 )

Realizando o produto vetorial, temos

i j k 0 1 1 3 4 1 i j 0 1 3 4 → 1 - 4 i + 3 - 0 j + 0 - 3 k = ( - 3,3 , - 3 )

Ficando, n = ( - 3,3 , - 3 )

A x + B y + C z + D = 0

- 3 x + 3 y - 3 z + D = 0

- 3 x + 3 y - 3 z + D = 0

D = 0

x = 3

Passo 5

E por fim na letra (d) sabendo que,

O plano é perpendicular ao eixo z e que contém os pontos ( 1,1 , 1 )

Como esse está perpendicular ao eixo z seu vértice vai ser v ( 0,0 , 1 )

Para o calculo de um plano perpendicular devemos utilizar,

v . A - P = 0 → 0,0 , 1 . ( 1,1 , 1 )

z = 1

Resposta

a) 3 x + 2 y = 6

b) x + 2 z = 2

c) x = 3

d) z = 1