Escreva uma equação do plano paralelo ao vetor v →   =   ( 5,5 , 1 ) e que contém a reta

2 x - y + 4 z - 2   =   0

    r   ⎨ x + 3 y - 5 z - 8 = 0       .

Passo 1

E aí, galera! Achou essa questão complicada? Não se preocupe que a gente Responde Aí juntos. Vem comigo!

A reta r é definida por dois planos. Isso quer dizer que ela é paralela a esses dois planos. Nesse caso, o vetor diretor da reta é perpendicular aos vetores normais dos dois planos. Então, para obter o vetor diretor da reta, precisamos do produto vetorial dos vetores normais dos planos, que são n → = ( 2 , - 1,4 ) e m → = ( 1,3 , - 5 ) . Vamos calcular esse produto vetorial

n → ∧ m → =

⎢       i →                           j →                     k →       ⎢

⎢       2         - 1                     4       ⎢ = ( 5 - 12 ) i →   - ( - 10 - 4 )   j →   + ( 6 + 1 )   k → = ( - 7,14,7 )

⎢       1                       3       - 5       ⎢

⇒ n → ∧ m → = 7 ( - 1,2 , 1 )

Para simplificar, podemos usar u → = ( - 1,2 , 1 ) como vetor diretor da reta.

Passo 2

Por outro lado, o plano que queremos contém a reta. Então, o vetor normal desse plano é perpendicular ao vetor diretor da reta. Assim,

l → ⋅ u → = 0 ⇒ ( a , b , c ) ⋅ ( - 1,2 , 1 ) = 0 ⇒ - a + 2 b + c = 0

⇒ c = a - 2 b

Como o plano é paralelo ao vetor v →   =   ( 5,5 , 1 ) , então seu vetor normal, l → = ( a , b , c ) , também é perpendicular a paralelo ao vetor v →   =   ( 5,5 , 1 ) :

l → ⋅ v →   = 0 ⇒ ( a , b , c ) ⋅   ( 5,5 , 1 ) = 0

⇒ 5 a + 5 b + c = 0

Usando c = a - 2 b na equação acima, obtemos

⇒ 5 a + 5 b + a - 2 b = 0 ⇒ 6 a + 3 b = 0

⇒ b = - 2 a

Então, c = a - 2 b = 5 a e l → = ( a , b , c ) = ( a , - 2 a , 5 a ) . Ou seja, o plano é dado por

π :   a x - 2 a y + 5 a z + d = 0

Passo 3

Para encontrar d , precisamos de um ponto que pertença ao plano. A reta r está contida no plano, então qualquer ponto da reta também pertence ao plano. Vamos analisar a definição da reta:

2 x - y + 4 z - 2   =   0

    r   ⎨ x + 3 y - 5 z - 8 = 0      

Se fizermos z = 0 nos dois planos, ficamos com

2 x - y - 2   =   0

      ⎨ x + 3 y - 8 = 0      

Vamos multiplicar o primeiro plano por 3 e somar com o segundo

6 x - 3 y - 6   =   0

      ⎨ x + 3 y - 8 = 0      

= 7 x - 14 = 0

⇒ x = 2

Agora, substituímos x = 2 na segunda equação

x + 3 y - 8 = 0 ⇒ 3 y - 6 = 0 ⇒ y = 2

Então, o ponto P = ( 2,2 , 0 ) faz parte da reta e do plano π . Vamos substituir as coordenadas desse ponto na equação do plano:

π :   a x - 2 a y + 5 a z + d = 0 ⇒ 2 a - 4 a + 0 + d = 0

⇒ d = 2 a

Pronto, já temos a equação do plano:

π :   a x - 2 a y + 5 a z + 2 a = 0 ⇒ - x + 2 y - 5 z - 2 = 0

Ufa! Conseguimos!

Resposta

π : - x + 2 y - 5 z - 2 = 0