Escreva uma equação do plano paralelo ao vetor e que contém a reta
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Passo 1
E aí, galera! Achou essa questão complicada? Não se preocupe que a gente Responde Aí juntos. Vem comigo!
A reta é definida por dois planos. Isso quer dizer que ela é paralela a esses dois planos. Nesse caso, o vetor diretor da reta é perpendicular aos vetores normais dos dois planos. Então, para obter o vetor diretor da reta, precisamos do produto vetorial dos vetores normais dos planos, que são e . Vamos calcular esse produto vetorial
Para simplificar, podemos usar como vetor diretor da reta.
Passo 2
Por outro lado, o plano que queremos contém a reta. Então, o vetor normal desse plano é perpendicular ao vetor diretor da reta. Assim,
Como o plano é paralelo ao vetor , então seu vetor normal, , também é perpendicular a paralelo ao vetor :
Usando na equação acima, obtemos
Então, e . Ou seja, o plano é dado por
Passo 3
Para encontrar , precisamos de um ponto que pertença ao plano. A reta está contida no plano, então qualquer ponto da reta também pertence ao plano. Vamos analisar a definição da reta:
Se fizermos nos dois planos, ficamos com
Vamos multiplicar o primeiro plano por e somar com o segundo
Agora, substituímos na segunda equação
Então, o ponto faz parte da reta e do plano . Vamos substituir as coordenadas desse ponto na equação do plano:
Pronto, já temos a equação do plano:
Ufa! Conseguimos!