Escreva uma equação do plano que passa pelo ponto P = ( 1 , - 1,1 ) e tem vetor normal ortogonal às retas

⎧ x   = - 1   - 2 λ

  r   ⎢ y   = - 3 λ

      ⎩ z   = 2 + 2 λ

e

⎧ x   = - 1 + μ

  s   ⎢ y   = 2 - 2 μ .

      ⎩ z   = 1 + 3 μ

Passo 1

Pessoal, as duas retas têm vetores diretores v → r = ( - 2 , - 3,2 ) e v → s = ( 1 , - 2,3 ) . Como o vetor normal do plano, que vamos chamar de n → = ( a , b , c ) é perpendicular às duas retas, então ele é perpendicular aos vetores diretores dessas retas:

n → ⋅ v → r = 0 ⇒ ( a , b , c ) ⋅ ( - 2 , - 3,2 ) = 0 ⇒ - 2 a - 3 b + 2 c = 0

n → ⋅ v → s = 0 ⇒ ( a , b , c ) ⋅ ( 1 , - 2,3 ) = 0 ⇒ a - 2 b + 3 c = 0

Vamos multiplicar a segunda equação por 2 e somar com a primeira:

- 2 a - 3 b + 2 c + 2 a - 4 b + 6 c = 0

⇒ - 7 b + 8 c = 0

⇒ c = 7 8 b

Agora, substituímos esse resultado na primeira equação:

- 2 a - 3 b + 2 c = 0 ⇒ - 2 a - 3 b + 7 4 b = 0

⇒ - 2 a - 5 4 b = 0

⇒ a = - 5 8 b

Então, o vetor normal vai ter a seguinte configuração: n → = ( - 5 8 b , b , 7 8 b ) .

Passo 2

No passo anterior, obtivemos o vetor normal do plano n → = ( - 5 8 b , b , 7 8 b ) . Assim, podemos escrever as equações do plano como

- 5 8 b x + b y + 7 8 b z + d = 0  

⇒ - 5 b x + 8 b y + 7 b z + 8 d = 0

Agora, vamos lembrar que o plano passa pelo ponto P = ( 1 , - 1,1 ) e substituir as coordenadas desse ponto na equação do plano:

- 5 b x + 8 b y + 7 b z + 8 d = 0  

⇒ - 5 b - 8 b + 7 b + 8 d = 0

⇒ - 6 b + 8 d = 0  

⇒ d = 3 4 b

Agora que sabemos que d = 3 4 b , vamos substituir na equação do plano e simplificá-la:

- 5 b x + 8 b y + 7 b z + 8 d = 0

⇒ - 5 b x + 8 b y + 7 b z + 6 b = 0

⇒ - b ( 5 x - 8 y - 7 z - 6 = 0 )

⇒ 5 x - 8 y - 7 z - 6 = 0

Pronto! 5 x - 8 y - 7 z - 6 = 0 é a equação do plano. Até a próxima!

Resposta

5 x - 8 y - 7 z - 6 = 0