1. Escreva uma equação do plano que passa pelos pontos A   =   ( 1,3 , 2 ) , B   =   ( 1,0 , - 1 ) e C = ( 2,3 , - 2 ) .
  2. Escreva equações da reta que passa por A e é perpendicular ao plano A B C .

Passo 1

  1. Fala, galerinha! Os pontos A   =   ( 1,3 , 2 ) , B   =   ( 1,0 , - 1 ) e C = ( 2,3 , - 2 ) nos dão os seguintes vetores:
  2. A B → = B - A   =   ( 1,0 , - 1 ) - ( 1,3 , 2 ) = ( 0 , - 3 , - 3 )

    A C → = C - A   = ( 2,3 , - 2 ) - ( 1,3 , 2 ) = ( 1,0 , - 4 )

    Além disso, usando X = ( x , y , z ) , obtemos o vetor

    A X → = X - A   = ( x , y , z ) - ( 1,3 , 2 ) = ( x - 1 , y - 3 , z - 2 )

    Se o ponto X pertencer ao plano, então A B → , A C → e A X → são l.d. Sendo assim, o determinante dos três vetores é nulo:

    ⎜ x - 1                 y - 3                 z - 2     ⎜

    ⎜           0                   -   3                     - 3               ⎜ = ( x - 1 ) ( 12 - 0 ) - ( y - 3 ) ( 0 + 3 ) + ( z - 2 ) ( 0 + 3 ) = 0

    ⎜           1                                   0                     - 4               ⎜

    12 ( x - 1 ) - 3 ( y - 3 ) + 3 ( z - 2 ) = 0

    ⇒ 12 x - 12 - 3 y + 9 + 3 z - 6 = 0

    ⇒ 12 x - 3 y + 3 z - 9 = 0

    ⇒ 4 x - y + z - 3 = 0

    Passo 2

  3. O enunciado já nos deu uma informação importante: que a reta passa por A   =   ( 1,3 , 2 ) . Então, temos que descobrir o vetor diretor da reta, que por enquanto vamos dizer que é v → = ( l , m , n ) . A reta é normal ao plano A B C , ou seja, o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano. Como a equação do plano é 4 x - y + z - 3 = 0 , então seu vetor normal é dado por n → = ( 4 , - 1,1 ) . Assim,

v → = ( l , m , n ) = ( 4 , - 1,1 )

Pronto, agora temos tudo que é necessário para obter as equações paramétricas da reta:

r :   x = 1 + 4 m ,   y = 3 - m ,   z = 2 + m

Por enquanto é só. Qual a sua próxima dúvida? Responde Aí!

Resposta

  1. A B C :   4 x - y + z - 3 = 0
  2. r :   x = 1 + 4 m ,   y = 3 - m ,   z = 2 + m