Escreva uma equação da superfície esférica de centro , tangente ao plano . Determine também as coordenadas do ponto de tangência.
Passo 1
Fala, pessoal! Como o plano é , temos que a distância ao centro é :
Nos é informado que o plano é tangente à superfície esférica. Assim, a distância do plano ao centro é igual ao raio da esfera. Então, o raio da esfera será .
Logo, a equação da superfície esférica que buscamos é:
Passo 2
Para determinar as coordenadas do ponto de tangência, precisamos achar um ponto , pertencente ao plano, e construir um vetor que saia do centro , da esfera, e vá até o ponto P. Assim, temos que o vetor será paralelo ao vetor normal do plano para que também pertença à esfera:
Daí,
Ou seja
Prontinho, agora só precisamos substituir essas coordenadas na equação da superfície esférica e saber para quais valores k satisfaz a equação:
Passo 3
Então, temos duas possibilidades e dois pontos
e
Para finalizar, só precisamos testar qual ponto pertence ao plano dado na questão:
Beleza, pessoal! O ponto é .
Resposta
; .