Escreva uma equação da superfície esférica de centro C = ( 3 , - 2,1 ) , tangente ao plano 2 x - y - 2 z - 15 = 0 . Determine também as coordenadas do ponto de tangência.

Passo 1

Fala, pessoal! Como o plano é 2 x - y - 2 z - 15 = 0 , temos que a distância ao centro é :

d ( C , π ) = | 2 ⋅ 3 - 1 ⋅ ( - 2 ) - 2 ⋅ 1 - 15 | 4 + 1 + 4 = | 6 + 2 - 2 - 15 | 9 = | - 9 | 3 =   3

Nos é informado que o plano é tangente à superfície esférica. Assim, a distância do plano ao centro é igual ao raio da esfera. Então, o raio da esfera será r =   3 .

Logo, a equação da superfície esférica que buscamos é:

( x - 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 9

Passo 2

Para determinar as coordenadas do ponto de tangência, precisamos achar um ponto P = ( x , y , z ) , pertencente ao plano, e construir um vetor que saia do centro C = ( 3 , - 2,1 ) , da esfera, e vá até o ponto P. Assim, temos que o vetor C P → será paralelo ao vetor normal do plano para que P também pertença à esfera:

C P →   =   k n   → ⇒   ( x - 3 , y + 2 , z - 1 )   =   ( 2 k , - k , - 2 k )

Daí,

x - 3 = 2 k   ⇒ x = 3 + 2 k

y + 2 = - k ⇒ y = - 2 - k

z - 1 = - 2 k ⇒ z = 1 - 2 k

Ou seja

P = ( x , y , z )   =   ( 3 + 2 k ,   - 2 - k , 1 - 2 k )

Prontinho, agora só precisamos substituir essas coordenadas na equação da superfície esférica e saber para quais valores k satisfaz a equação:

( 3 + 2 k - 3 ) 2 + ( - 2 - k + 2 ) 2 + ( 1 - 2 k - 1 ) 2 = 9

⇒ ( 2 k ) 2 + ( - k ) 2 + ( - 2 k ) 2 = 9

⇒ 4 k 2 + k 2 + 4 k 2 = 9

⇒ 9 k 2 = 9

⇒ k = - 1   o u   k = 1

Passo 3

Então, temos duas possibilidades k = - 1   o u   k = 1 e dois pontos

P = ( x , y , z ) k = - 1   =   ( 3 + 2 k ,   - 2 - k , 1 - 2 k )   =   ( 1 , - 1,3 )

e

P = ( x , y , z ) k = 1   =   ( 3 + 2 k ,   - 2 - k , 1 - 2 k )   =   ( 5 , - 3 , - 1 )

Para finalizar, só precisamos testar qual ponto pertence ao plano dado na questão:

( 1 , - 1,3 )   e m     2 x - y - 2 z - 15 = 0     ⇒   2 + 1 - 6 - 15 ≠ 0

( 5 , - 3 , - 1 )   e m     2 x - y - 2 z - 15 = 0     ⇒   10 + 3 + 2 - 15 = 0

Beleza, pessoal! O ponto é ( 5 , - 3 , - 1 ) .

Resposta

( x - 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 9 ; ( 5 , - 3 , - 1 ) .