- Escreva uma equação da superfície esférica cujo centro pertence à reta
e que passa pelos pontos e .
- Determine os planos tangentes a nos pontos e .
e que passa pelos pontos e .
Passo 1
- Fala galerinha! Nessa questão é preciso lembrar que a distância do centro a qualquer ponto da superfície de uma esfera é a mesma, ou seja, sempre será o raio. Como a superfície esférica passa pelos pontos e . Isso quer dizer que
- Para encontrar os planos tangentes a superfície esférica em e , temos que calcular os seguintes vetores:
Então, fazendo , com , e , temos
Na questão temos a seguinte reta
e como o centro pertence a essa reta, então esse ponto ocorre quando a reta assume os valores de a, b e c do ponto onde o centro da superfície esférica está localizado. Ou seja:
Vamos começar igualando as duas relações para que achamos:
Substituindo essa informação na terceira equação do sistema acima, temos:
Agora ficou fácil, pois , e . Com isso, temo o centro em e podemos determinar o raio da esfera por:
e a equação da superfície esférica em sua forma reduzida será:
.
Ufa! Essa foi um pouquinho longa. Mas espera um pouco que ainda temos mais um item.
Passo 3
Os vetores normais dos planos tangentes tem que ter a mesma direção dos vetores que nós calculamos acima, ou seja, e . Assim, temos dois planos na seguinte forma
Para descobrir o valores e , temos que lembrar que o plano passa por e o plano passa por . Então, podemos substituir as coordenadas desses dois pontos nos planos respectivos:
Agora, vamos usar essas informações de volta nas equações dos planos e simplificar onde der:
Pronto, galera. Isso é tudo!
Resposta
- e .