1. Escreva uma equação da superfície esférica S cujo centro pertence à reta
  2. ⎧ x   = 4 - λ

      t   ⎢ y   = - 1 - λ

          ⎩ z   = 3 - λ

    e que passa pelos pontos A = ( 2,1 , 4 ) e B = ( 2,2 , 1 ) .

  3. Determine os planos tangentes a S nos pontos A e B .

Passo 1

  1. Fala galerinha! Nessa questão é preciso lembrar que a distância do centro a qualquer ponto da superfície de uma esfera é a mesma, ou seja, sempre será o raio. Como a superfície esférica passa pelos pontos A e B . Isso quer dizer que
  2. d ( C , A ) = d ( C , B ) = r

    Então, fazendo d ( C , A ) 2 = d ( C , B ) 2 , com C = ( a , b , c ) , A = ( 2,1 , 4 ) e B = ( 2,2 , 1 ) , temos

    ( a - 2 ) 2 + ( b - 1 ) 2 + ( c - 4 ) 2 = ( a - 2 ) 2 + ( b - 2 ) 2 + ( c - 1 ) 2

    ⇒ a 2 - 4 a + 4 + b 2 - 2 b + 1 + c 2 - 8 c + 16 = a 2 - 4 a + 4   + b 2 - 4 b + 4 + c 2 - 2 c + 1

    ⇒ - 2 b + 1 - 8 c + 16 = - 4 b + 4 - 2 c + 1

    ⇒ 2 b - 6 c = - 12

    ⇒ b = 3 c - 6

    Na questão temos a seguinte reta

    ⎧ x   = 4 - λ

      t           ⎢ y   = - 1 - λ

          ⎩ z   = 3 - λ

    e como o centro pertence a essa reta, então esse ponto ocorre quando a reta assume os valores de a, b e c do ponto onde o centro da superfície esférica está localizado. Ou seja:

    a   = 4 - λ

    b   = - 1 - λ

    c   = 3 - λ

    Vamos começar igualando as duas relações para b que achamos:

    3 c - 6 = - 1 - λ ⇒   c = 5 3 - 1 3 λ

    Substituindo essa informação na terceira equação do sistema acima, temos:

    5 3 - 1 3 λ   =   3 - λ

    ⇒ 5 - λ = 9 - 3 λ

    ⇒ 2 λ = 4

    ⇒ λ = 2

    Agora ficou fácil, pois a   = 2 , b   = - 3 e c   = 1 . Com isso, temo o centro em C = ( 2 , - 3,1 ) e podemos determinar o raio da esfera por:

    d ( C , B ) = r

    ⇒ r   = ( 2 - 2 ) 2 + ( - 3 - 2 ) 2 + ( 1 - 1 ) 2

    ⇒ r   = 0 + 25 + 0   =   25

    e a equação da superfície esférica em sua forma reduzida será:

    ( x - 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 + ( z - 1 ) 2   = 25 .

    Ufa! Essa foi um pouquinho longa. Mas espera um pouco que ainda temos mais um item.

    Passo 3

  3. Para encontrar os planos tangentes a superfície esférica em A = ( 2,1 , 4 ) e B = ( 2,2 , 1 ) , temos que calcular os seguintes vetores:

A C → = C - A = ( 2 , - 3,1 ) - ( 2,1 , 4 ) = ( 0 , - 4 , - 3 )

B C → = C - B = ( 2 , - 3,1 ) - ( 2,2 , 1 ) = ( 0 , - 5,0 )

Os vetores normais dos planos tangentes tem que ter a mesma direção dos vetores que nós calculamos acima, ou seja, n → 1 = A C → = ( 0 , - 4 , - 3 ) e n → 2 = B C → = ( 0 , - 5,0 ) . Assim, temos dois planos na seguinte forma

π 1 : - 4 y - 3 z + d 1 = 0

π 2 : - 5 y + d 2 = 0

Para descobrir o valores d 1 e d 2 , temos que lembrar que o plano π 1 passa por A = ( 2,1 , 4 ) e o plano π 2 passa por B = ( 2,2 , 1 ) . Então, podemos substituir as coordenadas desses dois pontos nos planos respectivos:

π 1 : - 4 ⋅ 1 - 3 ⋅ 4 + d 1 = 0 ⇒ d 1 = 16

π 2 : - 5 ⋅ 2 + d 2 = 0 ⇒ d 2 = 10

Agora, vamos usar essas informações de volta nas equações dos planos e simplificar onde der:

π 1 : - 4 y - 3 z + 16 = 0 ⇒ π 1 : 4 y + 3 z - 16 = 0

π 2 : - 5 y + 10 = 0 ⇒ π 2 : y - 2 = 0

Pronto, galera. Isso é tudo!

Resposta

  1. ( x - 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 25
  2. 4 y + 3 z - 16 = 0 e y - 2 = 0 .