Escreva uma equação da superfície esférica de raio 6 , que tem centro no plano x + y + z = 0 , e é tangente à reta x - 1 3 = y - 1 = z no ponto P   =   ( 1,1 , 0 ) .

Passo 1

Fala pessoal, vamos começar escrevendo essa reta na sua forma parametrizada:

x - 1 3 = y - 1 = z = λ

x = 1 + 3 λ , y = 1 + λ , z = λ

com isso, achamos que o seu vetor diretor é v → = ( 3,1 , 1 ) . Mas para que precisamos dessa informação? Muito simples, a reta é tangente à superfície esférica. Logo, haverá um vetor C P → = P - C que será perpendicular ao vetor diretor da reta. Assim:

C P → ⋅ v →   =   0   ⇒   ( ( 1,1 , 0 ) - ( a , b , c ) ) ⋅ ( 3,1 , 1 )   =   0

⇒   ( 1 - a , 1 - b , - c ) ⋅ ( 3,1 , 1 )   =   0

⇒ 3 - 3 a + 1 - b - c   =   0

⇒ - 3 a - b - c   = - 4

Vamos guardar essa informação para o próximo passo.

Passo 2

Outra informação importante é que o centro passa pelo plano x + y + z = 0 . Com isso, temos:

a + b + c = 0   ⇒   c = - a - b

Substituindo na equação do passo anterior, temos:

- 3 a - b - ( - a - b ) = - 4

⇒ - 3 a - b + a + b = - 4

⇒ - 2 a = - 4

⇒ a = 2

assim,

⇒   c = - a - b   = - 2 - b .

Ou seja, o centro ocorre no ponto C = ( 2 , b , - 2 - b ) :

Passo 3

Para finalizar, vamos utilizar a informação do raio e o vínculo com a distância entre C e P :

d ( C , P )   =   6  

⇒ ( 2 - 1 ) 2 + ( b - 1 ) 2 + ( - 2 - b ) 2   =   6

⇒ ( 1 ) 2 + ( b - 1 ) 2 + ( - 2 - b ) 2   = 6

⇒ 1 + b 2 - 2 b + 1 + 4 + 4 b + b 2 = 6

⇒ 2 b 2 + 2 b + 6 - 6 = 0

⇒ b ( b + 1 ) = 0

Então, temos dois valores de b :

b = 0   o u   b = - 1

Com isso, substituindo em C = ( 2 , b , - 2 - b ) , temos os centros possíveis são:

C = ( 2,0 , - 2 )     o u   C = ( 2 , - 1 , - 1 ) .

Aeeee, conseguimos resolver mais uma questão juntos! A gente se vê na próxima!

Resposta

centro: ( 2 , - 1 , - 1 )   o u   ( 2,0 , - 2 ) .