Escreva uma equação da superfície esférica tangente aos planos x - y + 3 z - 4 = 0 e 3 x - y - z - 14 = 0 , cujo centro pertence à reta

⎧ x = 8 - 2 λ

      ⎢ y   = - 10 + 3 λ

    ⎩ z   = 1 + λ ,

sabendo-se que as coordenadas são números inteiros.

Passo 1

Fala pessoal. Vamos começar pelos dois vetores normais de cada plano dado:

x - y + 3 z - 4 = 0   ⇒   n 1 → = ( 1 , - 1,3 )

e

3 x - y - z - 14 = 0 ⇒   n 2 → = ( 3 , - 1 , - 1 )

Como os dois planos são tangentes à superfície esférica, podemos utilizar a distância entre o plano e o centro da esfera. Assim, temos que d ( C , π 1 ) = d ( C , π 2 ) . Logo, tendo o centro como C = ( a , b , c ) :

| 1 ⋅ a   - 1 ⋅ b + 3 ⋅ c   - 4 | 1 + 1 + 9 = | 3 ⋅ a   - 1 ⋅ b - 1 ⋅ c   - 14 | 9 + 1 + 1

⇒ | a   - b + 3 c   - 4 | = | 3 a   - b - c   - 14 |

Vamos guardar essa relação para o próximo passo.

Passo 2

Agora, utilizaremos a informação que o centro da esfera passa pela reta dada na questão. Isso quer dizer que

a = 8 - 2 λ

b = - 10 + 3 λ

c = 1 + λ

Pronto, podemos substituir essa informação na relação que reservamos no passo anterior e descobrir para qual valor de λ achamos o centro da superfície esférica. Vamos lá:

| 8 - 2 λ   - ( - 10 + 3 λ ) + 3 ( 1 + λ )   - 4 | = | 3 ( 8 - 2 λ )   - ( - 10 + 3 λ ) - ( 1 + λ )   - 14 |

⇒ | 8 - 2 λ   + 10 - 3 λ + 3 + 3 λ - 4 | = | 24 - 6 λ + 10 - 3 λ - 1 - λ - 14 |

⇒ | - 2 λ + 17 | = | 19 - 10 λ |

Nesse ponto temos duas possibilidades de resposta:

- 2 λ + 17 = 19 - 10 λ   ⇒   8 λ = 2   ⇒ λ = 1 4

ou

- 2 λ + 17 = - 19 + 10 λ   ⇒   12 λ = 36 ⇒ λ = 3

Passo 3

Como a questão nos informa que as coordenadas são números inteiros, então vamos ficar com o valor de λ = 3 . Logo,

a = 8 - 2 λ   =   8 - 6 ⇒ a   = 2

b = - 10 + 3 λ = - 10 + 9 ⇒ b = - 1

c = 1 + λ = 1 + 3 ⇒ c = 4

Com isso, temos que o centro da superfície esférica é C = ( 2 , - 1,4 ) e o raio pode ser obtido pela distância do centro a um dos planos:

r = | 1 ⋅ a   - 1 ⋅ b + 3 ⋅ c   - 4 | 1 + 1 + 9   = | 2 + 1 + 12 - 4 | 11 = 11 11   =   11

Portanto, a superfície esférica será:

( x - 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z - 4 ) 2 = 11 .

E aí, gostou? Responde aí.

Resposta

( x - 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z - 4 ) 2 = 11 .