Escreva uma equação da superfície gerada pela rotação

a) da elipse;

x 2 9 + y 2 4 = 1 ,     z = 0

em torno de seu eixo maior;

b) da elipse

y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 ,     x = 0

em torno do eixo z;

c) da parábola x = y 2 ,   z = 0 em torno de seu eixo;

d) da parábola z = 4 x 2 ,   y = 0 em torno do eixo z;

e) da hipérbole

y 2 16 - z 2 9 = 1 ,     x = 0

em torno do eixo z;

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para descrevermos a equação da superfície gerada pela rotação das opções abaixo,

a) da elipse;

x 2 9 + y 2 4 = 1 ,     z = 0

em torno de seu eixo maior;

b) da elipse

y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 ,     x = 0

em torno do eixo z;

c) da parábola x = y 2 ,   z = 0 em torno de seu eixo;

d) da parábola z = 4 x 2 ,   y = 0 em torno do eixo z;

e) da hipérbole

y 2 16 - z 2 9 = 1 ,     x = 0

em torno do eixo z;

Passo 2

Na letra (a)sabendo que a elipse,

x 2 9 + y 2 4 = 1 ,     z = 0

Lembrando que para acharmos o elipsoide no plano xy temos,

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ,

E sendo o centro da circunferência R ( 0,0 , 0 ) Q ( x 1 , y 1 0 )

P R 2 = Q R 2

y 1 2 = x 2 + y 2

x 2 9 + y 2 4 + z 2 4 = 1

Na letra (b) sendo a elipse,

y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 ,     x = 0

Vamos ter que,

x 2 a 2 + y 2 b 2

Sendo o centro R = 0,0 , 0 para o ponto Q ( 0 , y 1 , z 1 )

P R 2 = Q R 2

y 1 2 = x 2 + y 2

x 2 b 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Passo 3

Na letra ( c ) sendo a parábola,

x = y 2 ,   z = 0 em torno de seu eixo

Vamos ter que Q ( y 2 , y , 0 )

x = y 2 + z 2

Na letra (d) sendo a parábola,

z = 4 x 2 ,   y = 0 em torno do eixo z

Vamos ter que Q ( x , y , 4 x 2 )

z = 4 ( x 2 + y 2 )

E na letra (e) dado que a hipérbole,

y 2 16 - z 2 9 = 1 ,     x = 0 em torno do eixo z

Vamos ter o ponto Q ( 0 , y , z )

Ficando y = x

x 2 16 + y 2 16 - z 2 9 = 1

Resposta

a) x 2 9 + y 2 4 + z 2 4 = 1

b) x 2 b 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

c) x = y 2 + z 2

d) z = 4 ( x 2 + y 2 )

e) x 2 16 + y 2 16 - z 2 9 = 1