Escreva equações paramétricas da curva dada pela interseção das superfícies

a )   z = x 2 + y 2   e   x 2 + y 2 + z 2 = 1

b )   x 2 + y - 1 2 = 1   e   x 2 + y 2 + z 2 = 4

Passo 1

Para começar a letra a vamos substituir a primeira equação na segunda:

z + z 2 = 1

Por bhaskara achamos z = - 1 ±   5 2 , porém z>0 (soma de quadrados), logo o único valor é

z = 5 - 1 2

Colocando esse valor de z na primeira equação:

5 - 1 2 = x 2 + y 2

x 2 =   5 - 1 2 - y 2

x = ±   5 - 1 2 - y 2

Agora basta fazermos y = t.

x = ±   5 - 1 2 - t 2  

y = t

z = 5 - 1 2  

Para - 5 - 1 2 ≤ t ≤ 5 - 1 2  

Passo 2

Agora para letra b:

Vamos substituir a segunda equação na primeira

x 2 + x 2 + 2 - 1 2 = 1

x 2 + x 2 + 1 2 = 1

Veja que x 2 + 1 2 > 1   ,   p a r a   t o d o   x ≠ 0 , ou seja, vc está somando algo maior do que zero ( x 2 ) a algo que é maior do que 1 para todo x diferente de zero e isso tem q dar 1, podemos concluir que x=0 é única solução real.

Passo 3

Se x=0, colocando isso na primeira equação achamos:

0 + y - 1 2 = 1

Daqui tiramos que y = 2

Logo a parametrização é:

x = 0

y = 2

z   q u a l q u e r

Resposta

a )  

x = ±   5 - 1 2 - t 2  

y = t

z = 5 - 1 2  

Para - 5 - 1 2 ≤ t ≤ 5 - 1 2  

b )  

x = 0

y = 2

z   q u a l q u e r