Escreva equações paramétricas da interseção dos planos

a)   2 x   +   y   -   z   =   0   e   x   +   y   +   z   =   1 ;

b) x   +   2 y   =   1   e   z   =   2 .

Passo 1

Primeiro devemos verificar se os vetores normais (composto pelos termos que acompanham as variáveis na equação do plano) das retas não são múltiplos escalares garantindo que são concorrentes.

a) 2 x   +   y   -   z   =   0   e   x   +   y   +   z   =   1 podemos nomear os seguintes vetores normais n 1 = ( 2,1 , - 1 )   e   n 2 = ( 1,1 , 1 ) . Podemos observar que esses dois vetores não são múltiplos escalares.

b) x   +   2 y   =   1   e   z   =   2 podemos nomear os seguintes vetores normais n 1 = ( 1,2 , 0 )   e   n 2 = ( 0,0 , 1 ) . Podemos observar que esses dois vetores não são múltiplos escalares.

Agora vamos montar as equações!

Passo 2

a)   2 x   +   y   -   z   =   0  

          x   +   y   +   z   =   1

Adicionamos as equações membro a membro de forma a eliminar a variável z:

3 x + 2 y = 1

y = 1 - 3 x 2 = 1 2 - 3 x 2

Escolhemos uma das variáveis que sobraram para ser o parâmetro:

x = t ; y = 1 2 - 3 t 2

Substituindo as equações anteriores na segunda equação do sistema temos:

t + 1 2 - 3 t 2 + z = 1

z = 1 2 + t 2

Assim, as equações paramétricas da reta de interseção dos planos dados é:

x = t ; y = 1 2 - 3 t 2 ; z = 1 2 + t 2

Passo 3

b) x   +   2 y   + 0 z =   1  

0 x + 0 y + z   =   2

Escolhemos uma das variáveis que sobraram para ser o parâmetro:

y = t ; x = 1 - 2 t

Assim, as equações paramétricas da reta de interseção dos planos dados é:

y = t ; x = 1 - 2 t ; z = 2 + 0 t

Resposta

a) x = t ; y = 1 2 - 3 t 2 ; z = 1 2 + t 2

b) y = t ; x = 1 - 2 t ; z = 2 + 0 t