Escreva as equações paramétricas do plano paralelo ao eixo   z e que contém a interseção dos planos x   +   2 y   +   3 z   =   4   e   2 x   +   y   +   z   =   2 .

Passo 1

Salve galerinhaaa!

Que tal começarmos encontrando a interseção entre x   +   2 y   +   3 z   =   4   ( 1 )   e   2 x   +   y   +   z   =   2   ( 2 ) ?

Se somarmos a equação ( 1 ) com - 2 ⋅ ( 2 ) , temos:

x - 4 x + 2 y - 2 y + 3 z - 2 z = 0

- 3 x + z = 0

z = 3 x

Agora temos que atribuir a uma das variáveis o valor do parâmetro t . Para facilitar nossa vida com os cálculos vamos escolher x = t .

Assim, z = 3 t

Substituindo x = t e z = 3 t em qualquer das equações dos planos acima, temos: y = 2 - 5 t

Onde todos esses cálculos nos levam? À interseção entre os planos: a reta de equações paramétricas:

x = t

y = 2 - 5 t

z = 3 t

Para t = 0 ,

x = 0 ,   y = 2 ,   z = 0

P ( 0,2 , 0 ) pertence à reta, logo pertence ao plano.

E qual é o vetor diretor dessa reta? Ele pode ser obtido pelos termos que acompanham o parâmetro t nas equações da reta : u = ( 1 , - 5,3 )

Como a reta está contida no plano, o vetor diretor u = ( 1 , - 5,3 ) também está.

Passo 2

Vamos relembrar a equação paramétrica do eixo z?

x = 0 + 0 t

y = 0 + 0 t

z = 0 + t

E qual é o vetor diretor desse eixo? Ele pode ser obtido pelos termos que acompanham o parâmetro t nas equações da reta : v = ( 0,0 , 1 )

Se o plano é paralelo ao eixo z, então é paralelo ao vetor diretor do eixo z.

Passo 3

Lembrando que a equação paramétrica de um plano pode ser obtida por dois vetores paralelos ao plano, ou pertencentes ao plano, desde que esses vetores não sejam paralelos entre si e um ponto do plano:

( x , y , z ) = ( x 0 , y 0 , z 0 ) + h . u + t . v

Substituindo P ( 0,2 , 0 ) e v = ( 0,0 , 1 ) e u = ( 1 , - 5,3 ) :

( x , y , z ) = ( 0,2 , 0 ) + h ( 0,0 , 1 ) + t ( 1 , - 5,3 )

( x , y , z ) = ( 0,2 , 0 ) + ( 0,0 , h ) + ( t , - 5 t , 3 t )

( x , y , z ) = ( 0 + t , 2 - 5 t ,   h + 3 t )

Então,

x = 0 + 0 h + t

y = 2 + 0 h - 5 t

z = 0 + h + 3 t

Resposta

x = 0 + 0 h + t

y = 2 + 0 h - 5 t

z = 0 + h + 3 t