Escreva equações paramétricas da reta r que passa por A   =   ( 3,3 , - 1 ) , encontra a reta x + 1 2 = y - 3 2 = z e é ortogonal ao vetor u →   =   ( 1,2 , - 1 ) .

Passo 1

Fala, pessoal! Vamos começar escrevendo uma equação paramétrica genérica para a nossa reta, considerando que ela passa pelo ponto A   =   ( 3,3 , - 1 ) e que o vetor diretor da reta é v → = ( l , m , n ) :

s : x = 3 + t l ,   y = 3 + t m ,   z = - 1 + t n

Como o vetor diretor deve ser perpendicular a u →   =   ( 1,2 , - 1 ) , temos

u →   ⋅ v → = 0 ⇒ ( l , m , n ) ⋅   ( 1,2 , - 1 ) = 0 ⇒ l + 2 m - n = 0 ⇒ n = l + 2 m

Assim,

s : x = 3 + t l ,   y = 3 + t m ,   z = - 1 + t ( l + 2 m )

Passo 2

Vamos fazer aquele passo base de escrever a equação paramétrica da reta x + 1 2 = y - 3 2 = z . Ou seja,

x   =   - 1   + 2 λ   ;   y   =   3   +   2 λ   ;   z   =   λ  

Agora, sabemos que a intercessão ocorrerá quando a reta acima assumir os valores da nossa reta que buscamos. Além disso, vamos assumir que isso ocorre quando t = 1 . Do passo 1, temos as coordenadas a serem substituídas:

3 + l   = - 1   + 2 λ  

3 + m   =   3   +   2 λ ⇒ m = 2 λ

- 1 + l + 2 m   =   λ

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos

3 + l - 3 - m   = - 1   + 2 λ - 3 - 2 λ ⇒ l - m   = - 4 ⇒ l = m - 4  

Vamos substituir l = m - 4 na terceira equação e depois usar m = 2 λ :

- 1 + l + 2 m   =   λ ⇒ - 1 + m - 4 + 2 m   =   λ ⇒ - 5 + 3 m   =   λ

⇒ - 5 + 6 λ   =   λ ⇒ 5 λ = 5 ⇒ λ = 1

Com isso, vemos que

m = 2

l = m - 4 = 2 - 4 = - 2

Agora, temos a equação paramétrica da reta:

s : x = 3 + t l ,   y = 3 + t m ,   z = - 1 + t ( l + 2 m )

⇒ s : x = 3 - 2 t ,   y = 3 + 2 t ,   z = - 1 + 2 t

Resposta

x = 1 - 2 t ,   y = 3 + 2 t ,   z = - 1 + 2 t