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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.6 - Ex. 155

  1. Escreva equações paramétricas da reta s que passa pelo ponto A   = ( 1,1 , 1 ) e que é perpendicular à reta r determinada pelos pontos B = ( 1,2 , 1 ) e C = ( 0 , - 3,1 ) .
  2. Determine a área do triângulo dado pelos pontos A , B e pelo é da perpendicular s em r .
  3. Ache a distância de A até r .

Passo 1

  1. E aí, pessoal! Tudo tranquilo? Vamos começar determinando a reta r usando B = ( 1,2 , 1 ) como ponto inicial e B C → como vetor diretor

    2. B C → = C - B = ( 0 , - 3,1 ) - ( 1,2 , 1 ) = ( - 1 , - 5,0 )

    Então, a reta r tem as seguintes equações paramétricas:

    r :   x = 1 - m ,   y = 2 - 5 m ,   z = 1

    Beleza, agora queremos encontrar um ponto A ' na reta r para que o vetor A A ' → seja perpendicular a B C → . Ou seja, A A ' → é o vetor diretor da reta s , que é perpendicular a r . O ponto A ' pode ser escrito como A ' = ( 1 - m , 2 - 5 m , 1 ) porque ele pertence a r . Sendo assim, temos

    A A ' → = A ' - A = ( 1 - m , 2 - 5 m , 1 ) - ( 1,1 , 1 ) = ( - m , 1 - 5 m , 0 )

    Agora, vamos usar a condição de ortogonalidade:

    A A ' → ⋅ B C → = 0 ⇒ ( - m , 1 - 5 m , 0 ) ⋅ ( - 1 , - 5,0 ) = 0

    ⇒ m - 5 + 25 m = 0 ⇒ m = 5 26

    Beleza! Usando m = 5 26 , obtemos

    A ' = ( 1 - m , 2 - 5 m , 1 ) = ( 1 - 5 26 , 2 - 5 ⋅ 5 26 , 1 ) = ( 21 26 , 27 26 , 1 )

    A A ' → = ( - m , 1 - 5 m , 0 ) = ( - 5 26 , 1 - 25 26 , 0 ) = ( - 5 26 , 1 26 , 0 ) = 1 26 ( - 5,1 , 0 )

    Mas, para simplificar, vamos usar v → = ( - 5,1 , 0 ) como vetor diretor e A   = ( 1,1 , 1 ) como ponto inicial para obter as equações paramétricas de s :

    s :   x = 1 - 5 m ,   y = 1 + m ,   z = 1

    Passo 2

  2. O que esse item quer, na verdade, é a área do triângulo formado pelos pontos A , B e A ' :

    3. A = 1 2 | A B → ∧ A A ' → |

    Já temos o vetor A A ' → = 1 26 ( - 5,1 , 0 ) do item anterior. Então, só falta calcular

    A B → = B - A = ( 1,2 , 1 ) - ( 1,1 , 1 ) = ( 0,1 , 0 )

    Agora, podemos calcular o produto vetorial dos dois vetores

    A B → ∧ A A ' → =

    ⎜                 i →                               j →                       k   →   ⎜

    ⎜                 0                           1                       0     ⎜ = 0 ⋅ i → - 0 ⋅ j → + ( 0 + 5 26 ) k →   = ( 0,0 , 5 26 )

    ⎜ - 5 26                 1 26                   0     ⎜

    Com isso, vemos que a área do triângulo é dada por

    A = 1 2 | A B → ∧ A A ' → | = 1 2 5 2 2 6 2 = 5 2 ⋅ 26 = 5 52

    Passo 3

  3. Galerinha, a distância de A até r é justamente o módulo do vetor A A ' → , porque A ' está contido na reta r e A A ' → é perpendicular a r :

d = | A A ' → |   =   1 26 25 + 1 + 0   =   1 26 26 = 1 26

Resposta

  1. x = 1 - 5 m ,   y = 1 + m ,   z = 1
  2. A = 5 52
  3. d = 1 26