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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.6 - Ex. 137

  1. Escreva equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos P = ( 1,2 , 3 ) e Q = ( 0 , - 1,2 ) .
  2. Verifique se os pontos A = ( 2,5 , 4 ) , B = ( - 1 , - 4,1 ) e C = ( 1 2 , 1 2 , 1 2 ) pertencem à reta r .
  3. Localize na reta r os pontos que a ela pertencem , inclusives os pontos P e Q .

Passo 1

  1. Pessoal, a reta que passa pelos pontos P = ( 1,2 , 3 ) e Q = ( 0 , - 1,2 ) tem vetor diretor igual a P Q → :

    2. P Q → = Q - P = ( 0 , - 1,2 ) - ( 1,2 , 3 ) = ( - 1 , - 3 , - 1 )

    Vamos considerar que a reta começa em P = ( 1,2 , 3 ) . Assim, as equações paramétricas da reta são

    x = 1 - m ,   y = 2 - 3 m ,   z = 3 - m

    Passo 2

  2. Temos que verifique se os pontos A = ( 2,5 , 4 ) , B = ( - 1 , - 4,1 ) e C = ( 1 2 , 1 2 , 1 2 ) pertencem à reta r . Para fazer isso, a gente tem que substituir cada ponto na equação paramétrica da reta e verificar se existe um único valor de m que garanta as três igualdades. Temos

    3. Ponto A = ( 2,5 , 4 ) :

    x = 1 - m = 2 ⇒ m = - 1 ,

    y = 2 - 3 m = 5 ⇒ 3 m = 2 - 5 = - 3 ⇒ m = 1 ,

    z = 3 - m = 4 ⇒ m = - 1

    Como encontramos o mesmo valor de m , então o ponto pertence a reta.

    Ponto B = ( - 1 , - 4,1 ) :

    x = 1 - m = - 1 ⇒ m = 2 ,

    y = 2 - 3 m = - 4 ⇒ 3 m = 2 + 4 = 6 ⇒ m = 2 ,

    z = 3 - m = 1 ⇒ m = 2

    O ponto B também pertence à reta.

    Ponto C = ( 1 2 , 1 2 , 1 2 ) :

    x = 1 - m = 1 2 ⇒ m = 1 2 ,

    y = 2 - 3 m = 1 2 ⇒ 3 m = 2 - 1 2 = 3 2 ⇒ m = 1 2 ,

    z = 3 - m = 1 2 ⇒ m = 5 2

    Opa! temos dois valores diferente de m . Logo, o ponto C = ( 1 2 , 1 2 , 1 2 ) não pertence à reta.

    Passo 3

  3. Como a reta começa em P , esse é o ponto em que m = 0 . Já para m = 1 , obtemos o ponto Q = ( 0 , - 1,2 ) . O ponto A corresponde a m = - 1 e o ponto B a m = 2 . Temos, da esquerda para a direita, do menor valor de m até o maior valor de m :

Resposta

  1. x = 1 - m ,   y = 2 - 3 m ,   z = 3 - m
  2. A ,   B pertencem a reta, C não pertence.