Escreva equações paramétricas da reta que é projeção ortogonal da reta sobre o plano .
Passo 1
Fala, galera! Para começar, vamos reescrever a equação da reta na forma paramétrica:
Agora, vamos testar se a reta é paralela ao plano. Para isso, temos que ver se o vetor diretor da reta, que é é perpendicular ao vetor normal do plano, que é . Então, vamos lá fazer essa continha:
Beleza! Agora sabemos que a reta não é paralela ao plano e isso quer dizer que eles se encontram em um ponto. Para descobrir esse ponto, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano e resolvemos para :
Então, quando , temos o ponto
Passo 2
O ponto , por ser de interseção da reta com o plano, também faz parte da projeção ortogonal dessa reta no plano. Então, só precisamos de mais um ponto da reta. Quando , temos . Resta então saber qual é a projeção ortogonal de no plano. Vamos dizer que essa projeção é um ponto . Então, o vetor
tem que ser proporcional ao vetor normal do plano. Assim, garantimos que ele é ortogonal ao plano. Então, fazendo , obtemos o seguinte sistema de equações:
Então, temos um ponto . Temos que garantir que esse ponto está no plano, ou seja, que ele satisfaz a equação do plano
Então, temos
Eu sei que esse resultado não é muito bonito, mas confia que vai dar certo.
Passo 3
Usando e , obtemos o vetor
que pertence à projeção ortogonal da reta sobre o plano. Mas, para facilicar a nossa vida, vamos usar como vetor diretor da reta e como ponto inicial. Então, temos
E aí, o que você achou desta resolução? Responde Aí!
Resposta
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