Escreva equações paramétricas da reta que é projeção ortogonal da reta x = y - 7 - 3 = z - 7 - 4 sobre o plano 3 x - y - z + 4 = 0 .

Passo 1

Fala, galera! Para começar, vamos reescrever a equação da reta na forma paramétrica:

x = y - 7 - 3 = z - 7 - 4 = t

⇒ x = t ,   y = - 3 t + 7 ,   z = - 4 t + 7

Agora, vamos testar se a reta é paralela ao plano. Para isso, temos que ver se o vetor diretor da reta, que é v → = ( 1 , - 3 , - 4 ) é perpendicular ao vetor normal do plano, que é n → = ( 3 , - 1 , - 1 ) . Então, vamos lá fazer essa continha:

v → ⋅ n → = ( 1 - 3 , - 4 ) ⋅ ( 3 , - 1 , - 1 ) = 3 + 3 + 4 = 10 ≠ 0

Beleza! Agora sabemos que a reta não é paralela ao plano e isso quer dizer que eles se encontram em um ponto. Para descobrir esse ponto, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano e resolvemos para t :

  3 x - y - z + 4 = 0

⇒   3 t + 3 t - 7 + 4 t - 7 + 4 = 0

⇒   10 t - 10 = 0

⇒ t = 1

Então, quando t = 1 , temos o ponto

x = t = 1 ,   y = - 3 t + 7 = 4 ,   z = - 4 t + 7 = 3

⇒ P = ( 1,4 , 3 )

Passo 2

O ponto P = ( 1,4 , 3 ) , por ser de interseção da reta com o plano, também faz parte da projeção ortogonal dessa reta no plano. Então, só precisamos de mais um ponto da reta. Quando t = 0 , temos Q = ( 0,7 , 7 ) . Resta então saber qual é a projeção ortogonal de Q no plano. Vamos dizer que essa projeção é um ponto Q ' = ( a , b , c ) . Então, o vetor

Q Q ' → = Q ' - Q = ( a , b , c ) - ( 0,7 , 7 ) = ( a , b - 7 , c - 7 )

tem que ser proporcional ao vetor normal do plano. Assim, garantimos que ele é ortogonal ao plano. Então, fazendo Q Q ' → = k n → , obtemos o seguinte sistema de equações:

a = 3 k

b - 7 = c - 7 = - k

⇒ b = c = 7 - k

Então, temos um ponto Q ' = ( 3   k , 7 - k , 7 - k ) . Temos que garantir que esse ponto está no plano, ou seja, que ele satisfaz a equação do plano

  3 x - y - z + 4 = 0

  ⇒ 9 k - 7 + k - 7 + k + 4 = 0

⇒ 11 k - 10 = 0

⇒ k = 10 11

Então, temos

Q ' = ( 3   k , 7 - k , 7 - k ) = ( 30 11 , 67 11 , 67 11 )

Eu sei que esse resultado não é muito bonito, mas confia que vai dar certo.

Passo 3

Usando P = ( 1,4 , 3 ) e Q ' = ( 30 11 , 67 11 , 67 11 ) , obtemos o vetor

P Q ' → = Q ' - P = ( 30 11 , 67 11 , 67 11 ) - ( 1,4 , 3 ) = ( 19 11 , 23 11 , 34 11 ) = 1 11 ( 19,23,34 )

que pertence à projeção ortogonal da reta sobre o plano. Mas, para facilicar a nossa vida, vamos usar ( 19,23,34 ) como vetor diretor da reta e P = ( 1,4 , 3 ) como ponto inicial. Então, temos

x = 1 + 19 t ,   y = 4 + 23 t ,   z = 3 + 34 t

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Resposta

x = 1 + 19 t ,   y = 4 + 23 t ,   z = 3 + 34 t .