Escreva equações paramétricas da reta r , de vetor diretor ( - 1,1 , 2 ) e que se apóia nas retas x   =   3   y   =   2   z e {   x   =   3   ;   y   =   2 +   z .

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo jóia? Então, como de costume, vamos começar escrevendo as retas na forma paramétrica

s   : x   =   3   y   =   2   z = l

⇒ x = l ,   y = l 3 ,   z = l 2

t   : x   =   3   ;   y   =   2 +   z = m

⇒ x = 3 ,   y = m ,   z = m - 2

Esse passo é muito importante para a gente poder identificar os vetores diretores das duas retas: v → r = ( 1 , 1 3 , 1 2 ) e v → s = ( 0,1 , 1 ) . Como a reta t se apoia nas outras duas retas, então temos um ponto S = ( l , l 3 , l 2 ) em s e um ponto R = ( 3 , m , m - 2 ) em t que também pertencem a r para algum valor de l e m , respectivamente. Com isso, o vetor

R S → = S - R = ( l , l 3 , l 2 ) - ( 3 , m , m - 2 ) = ( l - 3 , l 3 - m , l 2 - m + 2 )

tem que ser paralelo ao vetor diretor da reta t . Então

( l - 3 , l 3 - m , l 2 - m + 2 ) = k ( - 1,1 , 2 ) ⇒

( 1 ) : l - 3 = - k

( 2 ) : l 3 - m = k

( 3 ) : l 2 - m + 2 = 2 k

Passo 2

Vamos tentar resolver o sistema de equações do passo anterior. Comparando o lado direito de ( 1 ) e ( 2 ) , vemos que

l - 3 = m - l 3 ⇒ m = 4 l 3 - 3

Substituindo m = 4 l 3 - 3 em ( 3 ) :

l 2 - m + 2 = 2 k ⇒ l 2 - 4 l 3 + 3 + 2 = 2 k

⇒ - 5 l 6 + 5 = 2 k

⇒ k = - 5 l 12 + 5 2

Agora, substituímos k = - 5 l 12 + 5 2 na primeira equação:

l - 3 = - k = 5 l 12 - 5 2 ⇒ 5 l 12 - l = 5 2 - 3

⇒ - 7 l 12 = - 1 2 ⇒ l = 6 7

Então, podemos usar l = 6 7 para descobrir os outros parâmetros:

m = 4 l 3 - 3 = 4 3 ⋅ 6 7 - 3 = 8 7 - 21 7 = - 13 7

k = - 5 l 12 + 5 2 = - 5 12 ⋅ 6 7 + 5 2 = - 5 14 + 5 2 = 35 - 5 14 = 30 14 = 15 7

Passo 3

Ufa! Falta muito pouco agora. Só precisamos substituir os valores encontrados num dos pontos pelos quais a reta passa. Vamos escolher R = ( 3 , m , m - 2 ) . Assim, usando m = - 13 7

R = ( 3 , m , m - 2 ) = ( 3 , - 13 7 , - 13 7 - 2 ) = ( 3 , - 13 7 , - 27 7 )

Não precisamos encontrar o vetor diretor, porque já foi dado no enunciado: ( - 1,1 , 2 ) . Assim, a reta r tem as seguintes equações paramétricas:

r :   x = 3 - t ,   y = - 13 7 + t ,   z = - 27 7 + 2 t

Valeu, galera! Isso é tudo por enquanto. O que vocês acharam desta resolução? Responde Aí!

Resposta

r :   x = 3 - t ,   y = - 13 7 + t ,   z = - 27 7 + 2 t