Escreva equações dos planos tangentes à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 4 y - 2 z - 3 = 0 que passam pela reta

x + y - 5 = 0

z = 0 .

Explique o resultado obtido.

Passo 1

Fala, pessoal! Vocês já devem tá ligandos que a gente vai começar essa questão reescrevendo a superfície esférica na forma reduzida:

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 4 y - 2 z - 3 = 0

⇒ x 2 + 2 x + 1 - 1 + y 2 - 4 y + 4 - 4 + z 2 - 2 z + 1 - 1 - 3 = 0

⇒ ( x + 1 ) 2 - 1 + ( y - 2 ) 2 - 4 + ( z - 1 ) 2 - 1 - 3 = 0

⇒ ( x + 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 9

Assim, vemos que o centro da esfera ocorre em C = ( - 1,2 , 1 ) e seu raio é r = 3 .

Como a reta é descrita sendo

x + y - 5 = 0

z = 0

Podemos combinar essas duas equações como

m ( x + y - 5 ) + n z = 0 ⇒ m x + m y + n z - 5 m = 0

Com isso, nós temos um feixe de planos porque a equação acima pode nos resultar diversos planos diferentes dependendo dos valores de m , n .

Passo 2

Como queremos os planos tangentes à superfície esférica, então a distância do centro da esfera até os planos é a mesma e igual ao raio da esfera. A equação da distância é

r = d ( C ,   π )   =   | a ⋅ x 0   +   b ⋅ y 0   +   c ⋅ z 0   +   d | a 2   +   b 2   +   c 2  

Usando o plano m x + m y + n z - 5 m = 0 e o ponto C = ( - 1,2 , 1 ) , obtemos:

3 = | m ⋅ ( - 1 )   +   m ⋅ 2   +   n ⋅ 1     - 5 m | m 2   +   m 2   +   n 2     ⇒ 3 = | - 4 m   + n | 2 m 2   +     n 2  

⇒ 3 2 m 2 +   n 2   = | - 4 m   + n |

⇒ 9 ( 2 m 2 + n 2 ) = ( - 4 m + n ) 2

⇒ 18 m 2 + 9 n 2 = 16 m 2 - 8 m n + n 2

⇒ 2 m 2 + 8 m n + 8 n 2 = 0

⇒ m 2 + 4 m n + 4 n 2 = 0

⇒ ( m + 2 n ) 2 = 0

⇒ m = - 2 n

Ufa! Estamos quase lá, não desanime! Basta substituir m = - 2 n na equação do feixe de planos:

- 2 n x - 2 n y + n z + 10 n = 0

⇒ α :   2 x + 2 y - z - 10 = 0

Resposta

α :   2 x + 2 y - z - 10 = 0